Markov Andreï

Né en 1856 et mort en 1922, le mathématicien russe Andreï Markov devient professeur à l'université de Saint-Pétersbourg. Il étudie des suites d'événements qui ne sont pas indépendants. Son idée décisive consiste à regarder l'état présent pour décrire l'étape suivante.

Imaginez une météo simplifiée, seulement « soleil » ou « pluie ». La probabilité de demain peut dépendre du temps d'aujourd'hui, sans qu'il soit nécessaire de reprendre toute la semaine. Cette règle locale est la propriété de Markov, souvent appelée « absence de mémoire ».

Andreï Andreïevitch Markov (1856–1922) est un mathématicien russe, élève de Pafnouti Tchebychev puis professeur à l'université de Saint-Pétersbourg. Ses travaux relèvent de la théorie des probabilités et de l'analyse mathématique. L'analyse markovienne qu'il développe fournit un cadre formel pour étudier des séquences statistiques dépendantes.

Dans un processus de Markov, la variable X_n désigne l'état du système à l'étape n. Pour tous les états passés auxquels on conditionne avec une probabilité non nulle, la propriété de Markov s'écrit :

Autrement dit, une fois l'état présent connu, l'histoire antérieure n'ajoute pas d'information pour l'étape suivante. Une chaîne de Markov est un processus de Markov indexé par des étapes discrètes ; l'espace de ses états peut être fini, dénombrable ou plus général selon le cadre. Lorsque les probabilités de transition ne changent pas avec n et que les états sont en nombre fini, elles peuvent être rassemblées dans une matrice : chaque coefficient donne une probabilité de passer d'un état à un autre, et chaque ligne totalise 1. Cette homogénéité temporelle est une hypothèse supplémentaire, pas une conséquence de la seule propriété de Markov. Le cadre a notamment fait progresser la cryptographie et l'analyse linguistique de corpus anciens ou dégradés.

Considérons une météo simplifiée à deux états : S pour soleil et P pour pluie. Les données sont les suivantes : après S, les probabilités de S et P valent 0,8 et 0,2 ; après P, elles valent 0,4 et 0,6. Aujourd'hui, l'état est S.

1. Rangeons les transitions dans la matrice T. Les lignes indiquent l'état présent et les colonnes l'état suivant, dans l'ordre S puis P :

Chaque ligne vaut exactement 1.

2. Pour demain, seul l'état S d'aujourd'hui intervient : la probabilité de soleil vaut 0,8 et celle de pluie 0,2. Le graphe des transitions représente ces quatre valeurs et le sens de chaque passage.

3. Pour après-demain, deux chemins conduisent au soleil : S puis S, ou P puis S. La probabilité cherchée vaut 0,8 × 0,8 + 0,2 × 0,4 = 0,72. De même, la probabilité de pluie vaut 0,8 × 0,2 + 0,2 × 0,6 = 0,28.

4. Le contrôle est immédiat : 0,72 + 0,28 = 1. Le calcul respecte donc le total des probabilités. Il illustre aussi l'absence de mémoire : après chaque chemin, la transition suivante dépend de l'état atteint, pas du chemin suivi avant lui.

En analyse linguistique, on observe les enchaînements d'états dans un corpus. Le modèle markovien convient lorsque le contexte retenu suffit à décrire la transition suivante ; si un passé plus long change encore les probabilités, il faut enrichir l'état ou choisir un autre modèle. Ce cadre a notamment servi à l'étude de corpus anciens ou dégradés et au traitement du langage naturel.

En cryptographie et en informatique théorique, la suite des configurations peut être analysée par ses transitions. On retient cette description si l'état courant contient toute l'information utile au prochain pas ; sinon, une modélisation qui conserve davantage d'histoire est nécessaire.

En physique statistique, en biologie computationnelle ou en finance, le geste consiste à définir les états, puis à estimer leurs probabilités de transition. Avant d'utiliser une chaîne de Markov, on vérifie que les transitions observées ne changent pas lorsqu'on ajoute le passé une fois l'état présent fixé.

Andreï Markov et Andreï Markov junior. Le père, né en 1856 et mort en 1922, est associé aux chaînes et aux processus de Markov. Son fils (1903–1979) a fondé l'école russe de logique mathématique et de mathématiques constructives. Le domaine cité permet donc de trancher l'attribution.

Absence de mémoire et indépendance. Dans l'exemple météorologique, demain dépend bien d'aujourd'hui : 0,8 après soleil, contre 0,4 après pluie. La propriété de Markov dit seulement que, l'état présent étant connu, les états plus anciens n'ajoutent rien pour prédire l'étape suivante.

Chaîne et processus de Markov. Une chaîne est indexée par des étapes discrètes, comme S et P aux jours successifs dans l'exemple. Un processus de Markov est le cadre plus large. Un modèle à temps continu ne devient donc pas une chaîne à temps discret simplement parce qu'il possède la propriété de Markov.

État incomplet. Si les probabilités du lendemain diffèrent encore selon l'avant-veille après avoir fixé la météo d'aujourd'hui, les seuls états S et P ne vérifient pas la propriété de Markov. Il faut enrichir l'état, par exemple en y incluant davantage de passé, ou changer de modèle.

Transitions variables dans le temps. Une chaîne peut être markovienne sans conserver la même matrice à chaque étape. Si les probabilités changent avec n, une matrice T unique ne suffit plus ; il faut noter une matrice pour chaque étape ou modéliser cette variation.

Sommes de lignes. Dans une matrice de transition lue de l'état présent en ligne vers l'état suivant en colonne, chaque ligne doit totaliser exactement 1. Un total différent de 1 signale des probabilités manquantes, un double comptage ou une autre convention de lecture qu'il faut expliciter.

Transitions certaines ou impossibles. Une probabilité 1 impose la transition correspondante et une probabilité 0 l'interdit, sans faire disparaître la structure markovienne. Le bon réflexe est de suivre les flèches encore possibles et de vérifier les sommes de lignes, plutôt que de supposer que toutes les transitions doivent être strictement comprises entre 0 et 1.

chaîne de Markov — Approfondir les états, les probabilités de transition et le calcul de l'évolution d'une chaîne discrète.