AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
Bistochastique (matrice)
Une matrice bistochastique (ou doublement stochastique) est une matrice carrée à coefficients positifs ou nuls dont toutes les sommes de lignes et toutes les sommes de colonnes sont égales à 1. Ces matrices peuvent être interprétées comme des probabilités de transition d'une chaîne de Markov doublement conservatrice. Le théorème de Birkhoff-von Neumann affirme que l'ensemble des matrices bistochastiques est exactement l'enveloppe convexe des matrices de permutation. Toute matrice bistochastique est donc une moyenne convexe de permutations.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les quatre conditions d’une matrice bistochastique.
- Vérifier un exemple 3 × 3 par les sommes de lignes et de colonnes.
- Lire une décomposition explicite en moyenne de deux matrices de permutation.
- Distinguer matrice bistochastique, matrice stochastique, matrice de permutation et matrice symétrique.
En clair
Imaginez un tableau qui répartit trois quantités entre trois destinations. Chaque ligne distribue exactement un total de 1, et chaque colonne reçoit elle aussi exactement 1. Aucune case ne contient de valeur négative.
Un tel équilibre dans les deux directions caractérise une matrice bistochastique. Chaque coefficient peut se lire comme une part ou une probabilité. Le tableau combine ainsi plusieurs réaffectations possibles sans créer ni perdre de total.
Définition
Une matrice bistochastique, aussi appelée matrice doublement stochastique, est une matrice carrée dont les coefficients sont tous positifs ou nuls. Dans chaque ligne, leur somme vaut 1. Dans chaque colonne, leur somme vaut également 1.
Pour une matrice carrée A de taille n, le coefficient situé sur la ligne i et la colonne j est noté aij. Les conditions s’écrivent : . Les deux dernières égalités doivent être vraies pour chaque ligne i et chaque colonne j.
Dans une chaîne de Markov, les lignes peuvent décrire les probabilités de départ vers les différents états. La condition sur les colonnes ajoute une conservation dans l’autre sens. Le théorème de Birkhoff-von Neumann établit en outre que ces matrices forment exactement l’enveloppe convexe des matrices de permutation : chacune est une moyenne pondérée de permutations, avec des poids positifs ou nuls dont la somme vaut 1.
De quoi c'est fait
Quatre éléments définissent l’objet. La forme carrée impose autant de lignes que de colonnes. Les coefficients occupent les cases et restent tous positifs ou nuls. Les sommes de lignes valent chacune 1, tout comme les sommes de colonnes.
La non-négativité rend possible une lecture probabiliste des coefficients. Les deux familles de sommes assurent simultanément la distribution par ligne et la conservation par colonne. Ces contraintes suffisent pour tester si une matrice est bistochastique. Elles permettent aussi d’appliquer le théorème de Birkhoff-von Neumann afin de chercher une décomposition en matrices de permutation. L’écriture ou la disposition graphique de la matrice ne change pas sa nature ; seules ses dimensions et ses valeurs comptent.
Un exemple, pas à pas
Considérons une matrice à trois lignes et trois colonnes. Ses neuf coefficients sont, ligne par ligne : 1/2, 1/2, 0 ; puis 1/2, 0, 1/2 ; enfin 0, 1/2, 1/2.
1. Additionnez chaque ligne : 1/2 + 1/2 + 0 = 1, puis 1/2 + 0 + 1/2 = 1, et 0 + 1/2 + 1/2 = 1.
2. Additionnez chaque colonne. On retrouve les mêmes trois calculs, donc trois sommes égales à 1. Tous les coefficients sont positifs ou nuls : la matrice est bistochastique.
3. Prenez la permutation qui fixe la première position et échange les deux autres, puis celle qui fixe la troisième position et échange les deux premières. Multipliez chacune de leurs matrices par 1/2 et additionnez-les.
Le résultat est exactement la matrice de départ. La figure matérialise cette moyenne de deux permutations. Le contrôle final se refait case par case : chaque coefficient est la demi-somme des deux coefficients placés au même endroit.
En pratique
Pour contrôler une matrice donnée, vérifiez d’abord que toutes ses valeurs sont positives ou nulles. Calculez ensuite chaque somme de ligne et chaque somme de colonne. Une seule somme différente de 1 suffit à écarter le qualificatif bistochastique.
Dans une lecture en chaîne de Markov, une matrice seulement stochastique convient si seules les sommes de lignes doivent valoir 1. La forme bistochastique s’impose lorsque la conservation par colonne doit aussi être satisfaite.
Pour décrire une réaffectation déterministe, une matrice de permutation suffit. Lorsque plusieurs permutations sont combinées avec des poids positifs ou nuls de somme 1, leur moyenne fournit une matrice bistochastique.
À ne pas confondre
Matrice stochastique. La convention par lignes exige que chaque somme de ligne vaille 1, sans imposer la même règle aux colonnes. Si une colonne totalise 1,2, la matrice peut rester stochastique par lignes, mais elle n’est pas bistochastique.
Matrice de permutation. Elle ne contient que des 0 et des 1, avec exactement un 1 par ligne et par colonne. La matrice de l’exemple contient des 1/2 : elle est bistochastique, mais ce n’est pas une matrice de permutation.
Matrice symétrique. La symétrie compare les coefficients placés de part et d’autre de la diagonale. Elle n’est pas requise ici : la matrice d’une permutation cyclique de trois éléments est bistochastique sans être symétrique.
Limites et pièges
Forme rectangulaire. Si une matrice possède m lignes et n colonnes et que toutes ces sommes valent 1, le total des coefficients vaut à la fois m et n. Il faut donc m = n : la forme carrée n’est pas une simple convention.
Sommes correctes, signe incorrect. Des valeurs négatives peuvent se compenser et laisser toutes les sommes égales à 1. Le symptôme est une case strictement négative ; il faut alors rejeter la qualification bistochastique malgré les bons totaux.
Égalité approchée. Des sommes comme 0,999 et 1,001 ne satisfont pas exactement la définition. Si elles viennent d’arrondis, il faut revenir aux valeurs exactes ou annoncer explicitement une tolérance numérique.
Décomposition non unique. Le théorème garantit l’existence d’une moyenne convexe de matrices de permutation, pas une écriture unique. Deux listes de permutations et de poids peuvent donc produire la même matrice ; chaque proposition doit être contrôlée case par case.
Pour aller plus loin
matrice stochastique — Pour isoler la condition portant sur une seule famille de sommes et préciser la lecture en probabilités de transition.
matrice de permutation — Pour étudier les briques extrêmes dont les moyennes convexes engendrent toutes les matrices bistochastiques.
Enveloppe convexe — Pour approfondir le cadre géométrique du théorème de Birkhoff-von Neumann et le rôle des poids de somme 1.
chaîne de Markov — Pour replacer la matrice dans son interprétation probabiliste et relier coefficients, états et transitions.
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