urne de Bernoulli

Imaginez une urne contenant des boules rouges et noires. Les boules ont la même apparence au toucher, mais leur couleur révèle le résultat lorsque l’une d’elles est tirée. Le tirage ne peut donc produire que deux issues : rouge ou noire.

La proportion de chaque couleur représente la chance d’obtenir l’issue correspondante. Une urne avec six boules rouges et quatre noires donne ainsi plus souvent rouge que noire. Ce modèle transforme un geste concret en expérience de probabilité.

Une urne de Bernoulli est un support concret qui formalise une expérience aléatoire à deux issues. Les boules sont indiscernables au toucher et distinguées par leur couleur : une couleur code une première issue, l’autre couleur code la seconde. Le tirage d’une boule fournit alors un résultat parmi ces deux possibilités.

Si l’urne contient n boules, dont r rouges et n − r noires, avec n>0, r entier et 0≤r≤n, et si chaque boule est tirée avec la même chance, la probabilité d’obtenir rouge est la proportion r/n. La probabilité d’obtenir noire est la proportion (n − r)/n.

En notant p_R la probabilité de rouge et p_N celle de noire, ces deux proportions s’écrivent ainsi :

Dans le cas conducteur, n désigne 10 et r désigne 6 ; les probabilités valent respectivement 0,6 et 0,4.

Le modèle est mathématiquement équivalent à une pièce éventuellement non équilibrée : les deux couleurs jouent le rôle de pile et face, tandis que la composition de l’urne règle leurs probabilités. Une répétition indépendante de cette expérience conduit au cadre de la loi binomiale.

On rencontre l’urne de Bernoulli dans une boîte opaque contenant des boules de deux couleurs. Les boules sont indiscernables au toucher, leur couleur est observable après le tirage, et une seule boule fournit un résultat. Le nombre total de boules, le nombre de boules de chaque couleur et la règle de tirage sont les marqueurs essentiels.

Ce support porte une information de probabilité : la composition de l’urne permet de calculer la probabilité de chacune des deux issues. Il donne une représentation matérielle d’une expérience qui peut aussi être décrite avec une pièce de monnaie non équilibrée.

Pour lire une urne de Bernoulli, on commence par compter toutes les boules, puis celles de la couleur associée à l’issue étudiée. La probabilité se lit comme une proportion : nombre de boules favorables divisé par nombre total de boules. Cette lecture suppose que chaque boule a la même chance d’être tirée.

Dans l’exemple conducteur, le total est 10 et les boules rouges sont 6. La probabilité de rouge est donc 6/10, soit 0,6 ; celle de noire est 4/10, soit 0,4. L’œil peut confondre le nombre de couleurs avec leur probabilité : il faut compter les boules, pas seulement repérer les deux issues.

Une urne opaque contient 10 boules indiscernables au toucher : 6 rouges et 4 noires. Une boule est tirée au hasard, chaque boule ayant la même chance d’être choisie. On cherche la probabilité d’obtenir rouge.

Données : total = 10 ; boules rouges = 6 ; boules noires = 4.
La proportion de boules rouges est 6/10.
Cette fraction se simplifie en 3/5.
La probabilité d’obtenir rouge vaut $p_R=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}p\_\{R\}=\backslash frac\{6\}\{10\}=\backslash frac\{3\}\{5\}$, c’est-à-dire 0,6.

Le résultat signifie qu’une issue rouge représente 60 % des boules, dans ce modèle. Le contrôle consiste à calculer la proportion noire : 4/10 = 0,4 ; les deux probabilités donnent 0,6 + 0,4 = 1.

Pour représenter deux issues avec un objet concret, une urne à deux couleurs permet de compter directement la proportion de chaque résultat. La composition de l’urne est le paramètre à observer.

Pour simuler la même expérience sans boules, une pièce peut jouer le même rôle. Une pièce équilibrée convient lorsque les deux issues doivent avoir la même probabilité ; une urne de composition inégale ou une pièce non équilibrée convient lorsque les chances diffèrent.

Pour étudier plusieurs résultats, on répète le tirage en précisant si les tirages sont indépendants. Cette répétition est le point de départ du modèle de loi binomiale.

Une urne de Bernoulli n’est pas une pièce de monnaie, même si les deux supports peuvent modéliser la même expérience à deux issues. La pièce produit directement pile ou face ; l’urne produit une couleur. Ils sont équivalents pour le modèle probabiliste lorsque les probabilités des deux issues coïncident.

Elle ne se confond pas non plus avec la loi binomiale. Un tirage de l’urne décrit une expérience à deux issues ; la loi binomiale concerne le nombre de réussites obtenu après plusieurs répétitions indépendantes de cette expérience.

Le modèle ne comporte que deux issues. Si le tirage peut produire trois couleurs ou davantage, une urne à deux issues ne suffit plus ; il faut changer de modèle ou regrouper explicitement les résultats en deux catégories.

La proportion des boules ne donne directement une probabilité que lorsque chaque boule est équiprobable. Si certaines boules sont plus faciles à tirer, compter les boules devient trompeur : il faut connaître ou mesurer les chances propres aux boules.

Lors de plusieurs tirages, l’indépendance n’est pas automatique. Un tirage sans remise modifie la composition de l’urne après chaque étape ; il ne correspond donc pas à une répétition indépendante avec les mêmes probabilités. Il faut alors recalculer les chances à chaque tirage.

Le passage de l’urne de Bernoulli à la loi binomiale consiste à répéter indépendamment une expérience à deux issues et à compter le nombre de fois où l’issue choisie apparaît. Ce prolongement permet d’étudier une série de tirages plutôt qu’un seul résultat.