Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
formule de Bayes
Un test positif ne suffit pas, à lui seul, à connaître la probabilité d’être malade : il faut aussi tenir compte de la fréquence de la maladie avant le test. La formule de Bayes met précisément à jour une probabilité a priori à la lumière d’une observation. Pour deux événements A et B de probabilités non nulles, elle s’écrit : P(B|A) = P(B) · P(A|B) / P(A), où P(B|A) désigne la probabilité de B sachant que A est réalisé. Elle s’applique notamment à l’évaluation de la fiabilité des tests diagnostiques : la valeur prédictive positive d’un test dépend non seulement de sa sensibilité et de sa spécificité, mais aussi de la prévalence de la maladie dans la population considérée. Sa démonstration, sa version généralisée et son rôle en inférence bayésienne sont développés plus loin.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les probabilités a priori, conditionnelle et a posteriori dans la formule.
- Retrouver la formule à partir de la règle de multiplication.
- Calculer la probabilité de maladie après un test positif sur un exemple de 10 000 personnes.
- Repérer l’effet de la prévalence et les conditions de la version généralisée.
En clair
Imaginez 10 000 personnes soumises à un dépistage. La maladie touche 1 % du groupe, le test repère 90 % des malades et produit aussi 5 % de résultats positifs chez les autres. Un résultat positif semble alarmant, mais il faut encore comparer les 90 malades détectés aux 495 personnes non malades testées positives.
Parmi les 585 résultats positifs, seuls 90 correspondent donc à la maladie, soit environ 15,4 %. La formule de Bayes accomplit ce changement de point de vue : elle part des fréquences connues avant le test et les met à jour avec le résultat observé.
Définition
La formule de Bayes est un théorème de probabilités conditionnelles. L’événement A représente l’observation disponible et l’événement B l’hypothèse dont on veut réévaluer la probabilité. La probabilité P(B) est dite a priori, car elle est attribuée avant la prise en compte de l’observation A ; elle peut être estimée ou incertaine. La probabilité P(A | B) mesure la vraisemblance de l’observation lorsque B est réalisé. Si P(A) est non nulle, la probabilité a posteriori de B sachant A est .
Cette identité vient de la règle de multiplication, écrite dans les deux sens : . Elle ne suppose pas que A et B soient indépendants. Au contraire, elle sert précisément à relier les deux sens du conditionnement.
Lorsque les hypothèses Bi, de probabilités strictement positives, sont incompatibles deux à deux et couvrent tous les cas, elles forment une partition finie ou dénombrable de l’univers des issues. Pour une observation A de probabilité non nulle, la version généralisée est . Le dénominateur additionne alors toutes les façons d’obtenir A. En inférence bayésienne, cette mise à jour transforme des degrés de croyance a priori en probabilités a posteriori. Pour un test diagnostique, elle combine prévalence, sensibilité et spécificité afin d’évaluer la probabilité d’être malade après un résultat positif.
Le principe
Soient A l’événement observé et B une hypothèse. Si P(A) et P(B) sont non nulles, les probabilités conditionnelles employées sont définies et la formule de Bayes donne :
Le numérateur associe la probabilité a priori de B à la probabilité d’observer A si B est vrai. Le dénominateur P(A) ramène ce produit à l’ensemble des cas où A se produit. Le résultat est la probabilité de B après l’observation de A.
Quand l'utiliser
La formule s’applique à des événements d’un même modèle probabiliste. Il faut connaître la probabilité a priori de chaque hypothèse et la probabilité de l’observation sous chacune d’elles. L’événement observé doit avoir une probabilité strictement positive ; sinon, la division par P(A) n’est pas définie.
Dans la version généralisée avec une somme, les hypothèses Bi doivent former une partition finie ou dénombrable : elles sont incompatibles deux à deux, exhaustives et de probabilités strictement positives, afin que chaque probabilité conditionnelle P(A | Bi) soit définie. Ces propriétés garantissent que la somme du dénominateur compte toutes les causes possibles de A, sans double comptage.
Un test dont on connaît seulement la sensibilité et la spécificité fournit un contre-cas concret : sans la prévalence de la maladie, la probabilité a priori manque et la valeur prédictive positive ne peut pas être déterminée. Il faut alors obtenir cette fréquence de base ou présenter le résultat pour plusieurs prévalences plausibles.
Un exemple, pas à pas
On considère 10 000 personnes. La maladie touche 1 % du groupe. Le test a une sensibilité de 90 % et une spécificité de 95 %, donc son taux de faux positifs est de 5 %. On note M l’événement « être malade » et T l’événement « avoir un test positif ».
Étape 1. La prévalence donne 10 000 × 0,01 = 100 personnes malades et 10 000 − 100 = 9 900 personnes non malades.
Étape 2. La sensibilité donne 100 × 0,90 = 90 tests positifs parmi les personnes malades.
Étape 3. Le taux de faux positifs donne 9 900 × 0,05 = 495 tests positifs parmi les personnes non malades.
Étape 4. Il y a donc 90 + 495 = 585 tests positifs au total. La formule donne .
Étape 5. Parmi les résultats positifs, la proportion de personnes malades est 90/585 = 2/13, soit environ 15,4 %. Le comptage direct confirme exactement le calcul probabiliste.
Le bilan des 10 000 dépistages rend visible le rôle de la prévalence : les personnes non malades sont si nombreuses que leurs 5 % de résultats positifs dépassent les 90 malades détectés.
En pratique
Pour interpréter un test diagnostique positif, on combine la prévalence avec la sensibilité et le taux de faux positifs. Lorsque des effectifs entiers sont disponibles, un comptage sur une population fictive de 10 000 personnes constitue une alternative très lisible et donne le même résultat que la formule.
Dans une inférence bayésienne, une nouvelle observation transforme la probabilité a priori en probabilité a posteriori. Cette dernière peut devenir l’a priori de la mise à jour suivante, à condition que le modèle fournisse la probabilité de chaque nouvelle observation sous les hypothèses considérées.
Si la fréquence de base ou les probabilités conditionnelles sont inconnues, un résultat numérique unique donnerait une précision trompeuse. Il vaut mieux conserver l’incertitude explicite ou comparer plusieurs hypothèses chiffrées plutôt que d’inventer les données manquantes.
À ne pas confondre
Probabilité conditionnelle et probabilité d’une intersection. P(B | A) se calcule parmi les cas où A est réalisé, tandis que P(A ∩ B) mesure la réalisation simultanée de A et B dans toute la population. Avec 10 000 dépistages, 90/585 répond à la première question et 90/10 000 à la seconde.
P(B | A) et P(A | B). Inverser la barre de conditionnement change la population de référence. Dans l’exemple, P(T | M) = 90 % est la sensibilité du test, tandis que P(M | T) ≈ 15,4 % est la probabilité d’être malade parmi les tests positifs.
Formule de Bayes et formule des probabilités totales. La première calcule une probabilité a posteriori. La seconde calcule P(A) en additionnant les voies incompatibles qui produisent A ; dans l’exemple, elle donne la fréquence totale des tests positifs avant la division bayésienne.
Limites et pièges
Observation impossible dans le modèle. Si P(A) = 0, le dénominateur s’annule et P(B | A) n’est pas définie par cette formule. Il faut revoir le modèle ou employer un cadre capable de traiter autrement l’observation, plutôt que diviser par zéro.
Oubli de la fréquence de base. Une sensibilité de 90 % n’implique pas que 90 % des tests positifs signalent la maladie. À 1 % de prévalence et 95 % de spécificité, l’exemple donne seulement 15,4 %. Il faut intégrer la prévalence avant d’interpréter le résultat.
Hypothèses qui ne forment pas une partition. Si deux causes retenues peuvent survenir ensemble, leur addition peut compter deux fois la même situation. Si elles n’épuisent pas les cas possibles, le dénominateur est incomplet. Il faut rendre les catégories incompatibles et exhaustives avant d’appliquer la version généralisée.
Données incertaines traitées comme exactes. La formule produit une mise à jour exacte pour les probabilités introduites, mais elle ne corrige pas une prévalence ou des performances de test mal estimées. Le bon réflexe consiste à recalculer le résultat avec plusieurs valeurs plausibles et à signaler sa sensibilité aux données d’entrée.
Pour aller plus loin
Conditionnelle (probabilité) — Revoir la définition de P(B | A), point de départ indispensable pour lire la formule.
Probabilités totales (formule des) — Calculer le dénominateur quand plusieurs causes possibles forment une partition.
Spécificité — Relier le taux de faux positifs à la lecture d’un test diagnostique.
Le théorème de Bayes... star de l'Internet ! — Prolonger l’étude de la place du théorème de Bayes dans les usages contemporains.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres