Conditionnelle (loi)

Un test est positif pour 26 personnes sur 100. Parmi ces 26 personnes, 16 sont malades. Dès que l’on connaît le résultat positif, on ne raisonne donc plus sur les 100 personnes, mais sur le groupe réduit des 26 résultats positifs. Dans ce groupe, la probabilité d’être malade vaut 16/26, soit environ 61,5 %.

Conditionner consiste à mettre à jour l’univers pertinent avec une information connue. Une loi conditionnelle décrit alors toutes les probabilités possibles d’une variable dans cet univers réduit.

Soient A et B deux événements d’une même expérience aléatoire. Si l’événement B a une probabilité strictement positive, la probabilité conditionnelle de A sachant B mesure la part des cas où A se réalise parmi ceux où B est réalisé : $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}P(A\backslash mid\; B)=\backslash frac\{P(A\backslash cap\; B)\}\{P(B)\}$. L’intersection A ∩ B désigne la réalisation simultanée des deux événements.

Pour deux variables aléatoires discrètes X et Y, la loi conditionnelle de X sachant Y = y rassemble, pour chaque valeur possible x, les probabilités P(X = x | Y = y). Ces probabilités forment une loi et leur somme vaut 1. Dans le cas continu, si (X, Y) admet une densité jointe, le quotient $f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}f\_\{X\backslash mid\; Y\}(x\backslash mid\; y)=\backslash frac\{f\_\{X,Y\}(x,y)\}\{f\_Y(y)\}$ définit, pour presque tout y tel que la densité marginale f_Y(y) soit strictement positive, une version de la densité conditionnelle. Pour ces valeurs de y, son intégrale par rapport à x vaut 1.

L’espérance conditionnelle résume cette loi par une moyenne dépendant de l’information connue. Pour une variable indicatrice, qui vaut 1 quand A se réalise et 0 sinon, son espérance conditionnelle sachant B est exactement P(A | B).

Si B est l’information connue et si P(B) > 0, on restreint d’abord l’expérience aux cas où B se réalise. On conserve ensuite les cas où A et B se réalisent ensemble, puis on divise : $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}P(A\backslash mid\; B)=\backslash frac\{P(A\backslash cap\; B)\}\{P(B)\}$. La formule équivalente $P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)P(A\backslash cap\; B)=P(B)P(A\backslash mid\; B)$ permet de retrouver une probabilité conjointe.

Le conditionnement porte sur des événements définis dans le même modèle probabiliste. Pour employer le quotient P(A ∩ B)/P(B), il faut connaître P(B) et P(A ∩ B), avec P(B) strictement positive. Pour une loi discrète sachant Y = y, la valeur y doit aussi avoir une probabilité positive. Pour une densité obtenue par quotient, il faut f_Y(y) > 0.

Si aucun cas observé ne réalise B, le dénominateur vaut 0 : le quotient ne définit rien. Il faut alors changer l’information conditionnante ou, dans un modèle continu, utiliser une loi conditionnelle définie avec les outils adaptés plutôt que diviser par zéro.

On étudie 100 personnes. L’événement M signifie « la personne est malade » et l’événement T « le test est positif ».
Données :
• 20 personnes sont malades ;
• parmi elles, 16 ont un test positif ;
• parmi les 80 personnes non malades, 10 ont un test positif.
On cherche la probabilité qu’une personne soit malade sachant que son test est positif. Le schéma organise les quatre effectifs sans changer de population de référence.

1. Le nombre total de tests positifs est 16 + 10 = 26. L’événement conditionnant T concerne donc 26 personnes.

2. Parmi ces 26 résultats positifs, 16 correspondent à des personnes malades. Ainsi, P(M ∩ T) = 16/100 et P(T) = 26/100.

3. On applique la définition : $P(M\mid T)=\frac{16\mathrm{/}100}{26\mathrm{/}100}=\frac{16}{26}=\frac{8}{13}\approx \mathrm{0,615}P(M\backslash mid\; T)=\backslash frac\{16/100\}\{26/100\}=\backslash frac\{16\}\{26\}=\backslash frac\{8\}\{13\}\backslash approx\; 0\{,\}615$. La probabilité d’être malade sachant que le test est positif est donc d’environ 61,5 %.

4. La loi conditionnelle de l’indicatrice de maladie sachant un test positif attribue la probabilité 8/13 à la valeur 1 et 5/13 à la valeur 0. Le contrôle 8/13 + 5/13 = 1 confirme qu’il s’agit bien d’une loi de probabilité.

Dans un dépistage, on part du résultat observé pour réévaluer la probabilité d’une maladie. Lorsque les taux de vrais et faux positifs ainsi que la probabilité a priori de la maladie, ou sa prévalence, sont connus, la formule de Bayes est l’outil naturel pour remonter du test vers la maladie.

En prévision, une loi conditionnelle décrit les valeurs encore plausibles après une information nouvelle, par exemple une demande sachant la saison. Si seule une valeur moyenne est nécessaire, l’espérance conditionnelle remplace utilement la loi complète.

Pour simuler X lorsque Y est fixé, on utilise la loi conditionnelle de X sachant Y. Si l’on doit au contraire retrouver la loi sans fixer Y, on combine les lois conditionnelles avec la loi de Y au moyen des probabilités totales.

Probabilité conditionnelle et probabilité conjointe. P(M | T) raisonne parmi les tests positifs, tandis que P(M ∩ T) raisonne dans toute la population. Dans l’exemple, elles valent respectivement 8/13 et 16/100.

Loi conditionnelle et loi marginale. La loi conditionnelle de la maladie sachant un test positif dépend de cette information ; la loi marginale l’ignore. Ici, P(M | T) = 8/13 alors que P(M) = 20/100.

Conditionnement et indépendance. Conditionner ne suppose pas que les événements soient indépendants. Ils seraient indépendants si P(M | T) = P(M), ce qui échoue ici puisque 8/13 ≠ 1/5.

Événement de probabilité nulle. Si P(B) = 0, le quotient P(A ∩ B)/P(B) prend la forme 0/0 et ne définit pas P(A | B). Il faut reformuler le conditionnement ou employer une construction de loi conditionnelle adaptée.

Valeur précise dans un modèle continu. En général, P(Y = y) = 0 même pour une valeur y possible. La densité conditionnelle ne s’obtient donc pas par le quotient de deux probabilités ponctuelles. Lorsque f_Y(y) > 0, on utilise le quotient des densités ; plus généralement, une version de la loi conditionnelle peut n’être déterminée que presque partout en y.

Inversion abusive. P(A | B) et P(B | A) n’ont aucune raison d’être égales. Dans l’exemple, P(M | T) = 8/13, tandis que P(T | M) = 16/20 = 4/5. Pour inverser le sens, il faut appliquer la formule de Bayes.

Moyenne sans hypothèse d’intégrabilité. Une espérance conditionnelle exige que la variable soit intégrable, ou au moins positive dans l’extension usuelle. Si la moyenne absolue diverge, la présenter comme une meilleure prédiction quadratique n’est pas justifiée.

Conditionnelle (probabilité) — Pour approfondir le calcul d’un événement sachant qu’un autre est réalisé.

formule de Bayes — Pour inverser le sens d’un conditionnement à partir des probabilités disponibles.

Probabilités totales (formule des) — Pour reconstruire une probabilité en réunissant plusieurs situations conditionnelles.

Conditionnelle (espérance) — Pour étudier la moyenne d’une variable lorsque l’information disponible est fixée.