Conditionnelle (espérance)

Un service observe le nombre d’incidents survenus chaque jour. La moyenne de tous les jours donne une première prévision, mais la mention « il pleut » apporte une information supplémentaire. On ne garde alors que les jours pluvieux et l’on recalcule la moyenne dans ce groupe. Cette nouvelle moyenne est une espérance conditionnelle : elle ajuste la valeur attendue de la variable à ce que l’on sait déjà.

L’espérance conditionnelle exprime la valeur moyenne attendue d’une variable aléatoire lorsque certaines informations sont connues. Soit X une variable aléatoire intégrable et soit B un événement de probabilité strictement positive. L’espérance de X sachant B est le nombre obtenu en moyennant X avec les probabilités recalculées à l’intérieur de B. Dans le cas discret, si X prend les valeurs x, cette définition s’écrit :

Plus généralement, l’information disponible est représentée par une tribu G. L’espérance conditionnelle de X sachant G, notée $\mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}]\backslash mathbb\{E\}[X\backslash mid\; \backslash mathcal\{G\}]$, est alors une variable aléatoire déterminée à égalité presque sûre près. Elle est mesurable par rapport à G et conserve les moyennes sur chaque événement de G. Si X est de carré intégrable, elle est aussi la meilleure prédiction de X fondée sur cette information au sens de l’erreur quadratique moyenne. La probabilité, la loi et la densité conditionnelles sont des objets voisins : pour une densité, le quotient $f_{X\mid Y}(x\mid y)=f_{X,Y}(x,y)\mathrm{/}{f}_Y(y)f\_\{X\backslash mid\; Y\}(x\backslash mid\; y)=f\_\{X,Y\}(x,y)/f\_Y(y)$ exige notamment que le dénominateur soit positif.

Un service note le nombre quotidien d’incidents, représenté par la variable aléatoire X. L’événement B signifie « le jour est pluvieux ». On cherche le nombre moyen d’incidents sachant qu’il pleut.

Données. La probabilité d’un jour pluvieux vaut 0,40. Les probabilités conjointes de « pluie et 0 incident », « pluie et 1 incident » et « pluie et 2 incidents » valent respectivement 0,08, 0,20 et 0,12. La répartition conditionnelle ainsi obtenue peut être représentée par trois barres de hauteurs 0,20, 0,50 et 0,30.

1. Recalculer les probabilités dans le groupe pluvieux.
$\mathbb{P}(X=0\mid B)=\mathrm{0,08}\mathrm{/}\mathrm{0,40}=\mathrm{0,20}\backslash mathbb\{P\}(X=0\backslash mid\; B)=0\{,\}08/0\{,\}40=0\{,\}20$, $\mathbb{P}(X=1\mid B)=\mathrm{0,20}\mathrm{/}\mathrm{0,40}=\mathrm{0,50}\backslash mathbb\{P\}(X=1\backslash mid\; B)=0\{,\}20/0\{,\}40=0\{,\}50$ et $\mathbb{P}(X=2\mid B)=\mathrm{0,12}\mathrm{/}\mathrm{0,40}=\mathrm{0,30}\backslash mathbb\{P\}(X=2\backslash mid\; B)=0\{,\}12/0\{,\}40=0\{,\}30$.

2. Calculer une probabilité conditionnelle.
Pour l’événement A « au moins un incident », on additionne les deux cas favorables : $\mathbb{P}(A\mid B)=\mathrm{0,50}+\mathrm{0,30}=\mathrm{0,80}\backslash mathbb\{P\}(A\backslash mid\; B)=0\{,\}50+0\{,\}30=0\{,\}80$.

3. Pondérer chaque nombre d’incidents.
$\mathbb{E}[X\mid B]=0\times \mathrm{0,20}+1\times \mathrm{0,50}+2\times \mathrm{0,30}=\mathrm{1,10}\backslash mathbb\{E\}[X\backslash mid\; B]=0\backslash times0\{,\}20+1\backslash times0\{,\}50+2\backslash times0\{,\}30=1\{,\}10$. Sachant qu’il pleut, le nombre attendu est donc de 1,1 incident par jour pluvieux.

Contrôle. Les probabilités conditionnelles totalisent 0,20 + 0,50 + 0,30 = 1. Le résultat 1,1 est bien compris entre les valeurs possibles 0 et 2.

En prévision, on remplace la moyenne générale par une espérance conditionnelle dès qu’une information observée modifie les probabilités. Dans l’exemple, connaître la pluie conduit à moyenner seulement selon la répartition des jours pluvieux.

Pour comparer des sous-groupes, on calcule une espérance dans chacun d’eux plutôt qu’une moyenne globale lorsque l’appartenance au groupe est connue. Il faut toutefois conserver des groupes définis de la même manière et vérifier que chacun possède des observations.

Dans un modèle probabiliste, conditionner sur une variable entière fournit une prédiction qui varie avec la valeur observée. Si aucune information n’est disponible, l’espérance ordinaire reste l’alternative adaptée ; si l’on connaît seulement un événement, une espérance sachant cet événement suffit.

Espérance conditionnelle et espérance ordinaire. La première exploite une information donnée, la seconde moyenne sur tous les cas. Si la répartition des incidents change les jours de pluie, 1,1 incident par jour pluvieux ne peut pas être présenté comme la moyenne de tous les jours.

Probabilité conditionnelle et probabilité d’une intersection. La probabilité de A sachant B est normalisée par la probabilité de B. Dans l’exemple, la probabilité conjointe « pluie et au moins un incident » vaut 0,32, tandis que la probabilité d’au moins un incident sachant la pluie vaut 0,80.

Conditionnement et causalité. Une différence entre deux espérances conditionnelles décrit une association dans le modèle ; elle ne prouve pas qu’une condition provoque la différence. Un lien causal réclame des hypothèses ou un dispositif d’étude supplémentaires.

Événement impossible. La formule par quotient ne définit pas une probabilité sachant B lorsque la probabilité de B vaut 0 : le dénominateur s’annule. Il faut alors préciser un autre cadre de conditionnement, et non diviser par zéro.

Valeur de densité nulle. Pour des variables continues, le quotient des densités n’est utilisable au point y que si la densité marginale de Y y est positive. Sur un ensemble de valeurs de probabilité nulle, une version de la loi conditionnelle peut être choisie sans être déterminée point par point de manière unique.

Existence et meilleure prédiction. L’espérance conditionnelle demande que X soit intégrable. La caractérisation comme meilleure prédiction pour l’erreur quadratique demande davantage : X doit avoir un carré intégrable et les prédictions comparées doivent utiliser la même information.

Égalité presque sûre. Deux versions d’une espérance conditionnelle peuvent différer sur un événement de probabilité nulle tout en représentant le même objet probabiliste. Chercher une valeur unique sur chacun de ces cas exceptionnels ajoute une exigence que la définition ne fournit pas.

Conditionnelle (probabilité) détaille le recalcul des probabilités dans l’univers restreint par l’information connue.

Conditionnelle (loi) prolonge l’exemple vers la distribution complète d’une variable une fois la condition fixée.

Conditionnelle (densité) présente la version continue et précise le rôle de la densité marginale au dénominateur.

variable aléatoire revient sur l’objet dont on conditionne la loi ou dont on calcule l’espérance.