Espace de probabilité

Lançons un dé équilibré à six faces. Les résultats possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6. On peut s'intéresser à l'événement « obtenir un nombre pair », qui rassemble 2, 4 et 6, puis lui attribuer la probabilité 1/2.

Un espace de probabilité organise précisément ces trois ingrédients : la liste des issues possibles, les groupes d'issues auxquels une probabilité peut être attribuée et la règle qui donne cette probabilité. Cette organisation empêche d'additionner ou de comparer des événements de manière incohérente.

Un espace de probabilité, aussi appelé espace probabilisé, est un triplet formé d'un ensemble Ω, d'une famille ℱ de sous-ensembles de Ω et d'une application P. L'ensemble Ω est l'espace d'échantillonnage : chacun de ses éléments est une issue possible. La famille ℱ est une tribu sur Ω : elle contient Ω, elle contient le complémentaire de chacun de ses éléments et elle contient toute union dénombrable de ses éléments. Les éléments de ℱ sont les événements mesurables.

L'application P, définie sur ℱ, est la mesure de probabilité. Elle associe à chaque événement A un nombre P(A). Elle est positive, donne la valeur 1 à l'espace entier et additionne les probabilités d'une famille dénombrable d'événements deux à deux disjoints. Ces conditions s'écrivent :

La tribu peut être l'ensemble de tous les sous-ensembles de Ω, mais ce choix n'est pas imposé par la définition. Ce cadre axiomatique, dû à Kolmogorov, fournit la structure de base de la théorie moderne des probabilités.

Le triplet comporte trois parties nécessaires. L'espace d'échantillonnage Ω réunit toutes les issues possibles. La tribu ℱ sélectionne les sous-ensembles qui sont des événements mesurables. La mesure P attribue une probabilité à chacun de ces événements, avec P(Ω) = 1.

Ces parties dépendent les unes des autres. La tribu est construite avec des sous-ensembles de Ω, tandis que P a pour domaine ℱ : écrire P(A) suppose donc que A appartient à ℱ. Les fermetures de la tribu garantissent que le contraire d'un événement et l'union dénombrable d'événements restent mesurables. L'additivité de P permet alors de calculer la probabilité d'une réunion disjointe.

Changer les noms des issues ne modifie pas le rôle de la structure. En revanche, changer ℱ ou P peut produire un autre espace de probabilité, même si Ω reste identique.

Considérons un dé équilibré à six faces et l'événement A « obtenir un nombre pair ». Une représentation de l'espace entier montre que A rassemble exactement trois des six issues.

Données.
Espace d'échantillonnage : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Tribu : ℱ est l'ensemble de tous les sous-ensembles de Ω.
Événement : A = {2, 4, 6}.
Chaque issue a la probabilité 1/6.

Étape 1. Pour tout événement B appartenant à ℱ, on définit P(B) comme le nombre d'issues contenues dans B divisé par 6 :

Étape 2. L'ensemble A contient trois issues. Sa probabilité vaut donc P(A) = 3/6 = 1/2. L'espace Ω contient les six issues, d'où P(Ω) = 6/6 = 1.

Contrôle. Le complémentaire de A est {1, 3, 5}. Il a lui aussi la probabilité 3/6 = 1/2. Les deux événements sont disjoints et leur réunion vaut Ω ; l'addition 1/2 + 1/2 = 1 retrouve bien P(Ω).

Pour modéliser une expérience finie comme le lancer d'un dé, on commence par énumérer les issues dans Ω. Si chaque regroupement d'issues doit pouvoir recevoir une probabilité, on choisit pour ℱ l'ensemble de tous les sous-ensembles de Ω.

Si seules certaines informations sont distinguées, une tribu plus petite peut suffire. Pour le dé, la famille formée de l'ensemble vide, des résultats impairs, des résultats pairs et de Ω décrit uniquement la parité ; elle ne permet pas de demander séparément la probabilité d'obtenir 2.

Avant tout calcul, on vérifie donc trois points : le résultat observé appartient à Ω, l'événement étudié appartient à ℱ et la règle P respecte le total 1 ainsi que l'additivité. Si l'un manque, le modèle probabiliste n'est pas entièrement défini.

Espace d'échantillonnage et espace de probabilité. Ω ne donne que les issues possibles ; le triplet (Ω, ℱ, P) précise aussi les événements mesurables et leurs probabilités. La liste {1, 2, 3, 4, 5, 6} ne suffit donc pas à elle seule pour définir le modèle du dé.

Issue et événement. Une issue est un élément de Ω, tandis qu'un événement est un élément de ℱ, donc un ensemble d'issues. Pour le dé, 2 est une issue et {2, 4, 6} est l'événement « résultat pair ».

Tribu et ensemble de tous les sous-ensembles. Une tribu est une famille de sous-ensembles qui contient Ω et qui est fermée par complémentaire et union dénombrable. Elle peut coïncider avec tous les sous-ensembles de Ω, comme dans l'exemple, mais la définition ne l'exige pas.

Un sous-ensemble de Ω n'est pas automatiquement un événement. Le symptôme est l'écriture P(A) alors que A n'appartient pas à ℱ. Il faut d'abord vérifier la mesurabilité de A ou choisir explicitement une tribu qui le contient.

Des nombres entre 0 et 1 ne suffisent pas. Si deux événements disjoints reçoivent des probabilités dont la somme contredit celle de leur réunion, P n'est pas une mesure de probabilité. Pour le dé, attribuer 1/2 à chacun des six résultats donnerait un total de 3 au lieu de 1.

Probabilité nulle ne signifie pas nécessairement ensemble vide. La positivité impose P(A) ≥ 0, mais elle n'impose pas que seul l'ensemble vide ait la valeur 0. Il faut distinguer la valeur donnée par P de la présence éventuelle d'issues dans A.

Un espace à une seule issue reste valide. Si Ω contient une unique issue, la probabilité de Ω vaut encore 1. Ce cas dégénéré n'exprime aucune incertitude, mais il satisfait bien la définition axiomatique.

La tribu précise pourquoi les complémentaires et les unions dénombrables des événements restent mesurables.

Une variable aléatoire associe ensuite une valeur aux issues tout en respectant la structure mesurable de l'espace de probabilité.