Russell Bertrand

En 1890, Bertrand Russell entre au Trinity College de Cambridge, où il étudie les mathématiques et les sciences morales. Onze ans plus tard, il met au jour un paradoxe : certaines collections définies par une règle apparemment claire conduisent à une contradiction. Cette faille devient un levier. Russell travaille à préciser le langage de la logique, à encadrer les ensembles par une théorie des types et à reconstruire les fondements des mathématiques avec Alfred Whitehead.

Bertrand Arthur William Russell, 3e comte Russell (1872-1970), est un mathématicien, logicien, philosophe, épistémologue, homme politique et moraliste britannique. Orphelin très jeune, il est élevé par ses grands-parents dans un cadre religieux rigoureux et instruit par des précepteurs privés. Adolescent solitaire, il trouve refuge dans la bibliothèque familiale. Entré au Trinity College de Cambridge en 1890, il y étudie les mathématiques et les sciences morales, puis soutient en 1897 une thèse sur les fondements de la géométrie sous la direction d'Alfred Whitehead. Il y enseigne ensuite les mathématiques et la philosophie et s'intéresse aux travaux de Peano et de Frege.

En 1901, Russell découvre le paradoxe qui porte son nom, puis le présente dans The Principles of Mathematics, publié en 1903 : des définitions naïves de collections peuvent produire une contradiction. Pour éviter cette autoréférence, sa théorie des types répartit les objets logiques en niveaux. Avec Whitehead, Russell publie les trois volumes des Principia Mathematica en 1910, 1912 et 1913. Leur projet logiciste consiste à réduire les mathématiques à la logique au moyen d'une axiomatique rigoureuse. Russell contribue aussi au calcul des prédicats du premier ordre. Ces travaux en font l'un des fondateurs de la logique contemporaine et de la philosophie analytique.

Ses essais philosophiques, au style limpide, touchent un large public et lui valent le prix Nobel de littérature en 1950. Son pacifisme lui cause des difficultés pendant la Première Guerre mondiale, sans l'empêcher de soutenir ensuite la nécessité de combattre le nazisme. Dans les années 1950 et 1960, il milite pour le désarmement nucléaire et contre la guerre du Vietnam. Son opposition à la religion traditionnelle et à la morale victorienne, ainsi que ses positions sur la famille et le mariage, conduisent en 1940 à la révocation de sa nomination au City College de New York. À la fin de sa vie, il rédige son autobiographie.

Considérons la règle au cœur du paradoxe. On veut former l'ensemble nommé R qui contient exactement tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes. La définition est : $R=\{x\mid x\mathrm{\notin }x\}R=\backslash \{x\backslash mid\; x\backslash notin\; x\backslash \}$.

1. Supposons que R se contienne lui-même. D'après la règle qui définit R, seuls les ensembles ne se contenant pas eux-mêmes appartiennent à R. Cette supposition impose donc que R ne se contienne pas lui-même.

2. Supposons au contraire que R ne se contienne pas lui-même. Il satisfait alors précisément la condition d'entrée dans R. Cette seconde supposition impose donc que R se contienne lui-même.

3. Les deux possibilités se renversent chacune en leur contraire : $R\in R⟺R\mathrm{\notin }RR\backslash in\; R\backslash iff\; R\backslash notin\; R$. La contradiction ne vient pas d'un calcul erroné, mais de la liberté de former n'importe quel ensemble à partir d'une propriété.

Le contrôle consiste à repartir séparément de chaque hypothèse et à appliquer une seule fois la définition de R. La théorie des types défendue par Russell répond à ce piège en empêchant qu'une expression parle d'elle-même sans restriction de niveau.

En logique, le paradoxe de Russell sert de test pour une définition par propriété. Si l'objet défini peut être réinjecté dans sa propre condition d'appartenance, il faut contrôler les niveaux de langage plutôt que traiter toute propriété comme un ensemble.

Pour lire les Principia Mathematica, on repère d'abord le projet logiciste : les mathématiques doivent être déduites d'axiomes logiques. La théorie des types est alors préférable à une théorie naïve des ensembles lorsque l'autoréférence produit une contradiction.

Dans l'histoire des idées, Russell ne se réduit pas à ce programme. Ses écrits philosophiques et ses engagements politiques demandent un autre critère de lecture : distinguer une contribution logique, une position morale et une intervention liée à une période historique.

Bertrand Russell et le paradoxe de Russell. Le premier est une personne ; le second est une contradiction logique portant sur l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes. Une date de vie concerne Russell, tandis qu'une condition d'appartenance concerne le paradoxe.

The Principles of Mathematics et les Principia Mathematica. Russell découvre le paradoxe en 1901, puis le présente dans The Principles of Mathematics, publié en 1903. Les Principia Mathematica sont les trois volumes cosignés avec Alfred Whitehead et publiés en 1910, 1912 et 1913. Le titre, le nombre d'auteurs et les années tranchent.

Pacifisme et refus de tout combat. Le pacifisme de Russell lui vaut des difficultés pendant la Première Guerre mondiale, mais il soutient ensuite la nécessité de combattre le nazisme. La période et l'adversaire empêchent donc de transformer sa position en refus absolu et permanent.

Définition sans restriction. Une propriété formulable ne détermine pas automatiquement un ensemble admissible. Le symptôme est ici l'équivalence contradictoire entre l'appartenance de R à lui-même et sa non-appartenance. Il faut employer une axiomatique ou une hiérarchie de types qui bloque cette construction.

Logicisme présenté comme résultat acquis. Les Principia Mathematica portent une tentative de fondation des mathématiques sur la logique. Le mot « tentèrent » appartient à la source : il faut présenter le logicisme comme le programme défendu par Russell et Whitehead, non comme une réduction simplement achevée.

Dates agrégées. Le paradoxe est formulé en 1901 ; les volumes des Principia Mathematica paraissent en 1910, 1912 et 1913 ; le Nobel arrive en 1950. Si ces dates sont fondues en une seule étape, la chronologie devient trompeuse. Chaque année doit rester attachée à son fait précis.

Étiquette politique figée. Les positions de Russell changent selon les conflits. Le contraste observable entre son pacifisme de la Première Guerre mondiale et son soutien au combat contre le nazisme impose de préciser la période au lieu de résumer toute sa vie par une seule étiquette.

paradoxe de Russell — Approfondir la contradiction qui a imposé de mieux encadrer la formation des ensembles.

Whitehead Alfred North — Situer le coauteur des Principia Mathematica et le directeur de la thèse de Russell.

Un siècle de vie passionnée — Replacer les travaux logiques de Russell dans le parcours intellectuel et politique d'une vie presque centenaire.