Barbier (paradoxe du)

Imaginez une ville où chaque homme appartient à l’un de ces deux groupes : ceux qui se rasent eux-mêmes et ceux qui ne le font pas. Un barbier reçoit une consigne stricte : raser tous les hommes du second groupe, et seulement eux.

Que doit-il faire pour sa propre barbe ? Se raser le place parmi ceux qu’il ne doit pas raser ; ne pas se raser le place parmi ceux qu’il doit raser. La consigne se retourne contre elle-même : aucun barbier ne peut la respecter.

Le paradoxe du barbier met en contradiction une règle qui porte aussi sur celui qui l’applique. On note H l’ensemble des hommes, b ∈ H le barbier et x ∈ H un homme quelconque. La relation B(u, v) signifie que l’homme u rase l’homme v. Dire que le barbier rase exactement les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes s’écrit :

La double implication exprime le mot « exactement » : être rasé par le barbier équivaut à ne pas se raser soi-même. En prenant le barbier lui-même pour x, on obtient que b se rase si et seulement si b ne se rase pas. Ce résultat ne décrit donc pas un personnage aux habitudes étranges : il prouve que le barbier défini par cette règle ne peut pas exister. Bertrand Russell a formulé ce paradoxe en 1901 pour illustrer les limites de la théorie naïve des ensembles.

Supposons qu’un barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux-là. S’il appartient lui-même au groupe considéré, alors la règle doit décider s’il se rase. Dans les deux cas, sa décision contredit la règle : se raser l’en exclut, tandis que ne pas se raser l’y inclut. Un tel barbier ne peut donc pas exister.

Le raisonnement exige trois éléments vérifiables. La règle porte sur tous les hommes du domaine, barbier compris. Elle utilise une condition portant sur le fait de se raser soi-même. Enfin, « exactement » impose les deux sens : le barbier rase chaque homme qui ne se rase pas et ne rase aucun homme qui se rase.

Si le barbier est exclu du domaine, le blocage disparaît : la règle ne dit alors rien de sa propre barbe. De même, remplacer « exactement » par une consigne à sens unique ne produit plus nécessairement la contradiction. Il faut dans ces contre-cas reformuler le domaine ou la règle, plutôt que conclure au paradoxe.

Dans la ville imaginée, la donnée est unique : le barbier rase exactement les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes. On teste la règle sur le barbier, puisqu’il fait partie des hommes concernés.

1. Première possibilité. Le barbier se rase. Il appartient alors aux hommes qui se rasent eux-mêmes. Or la règle interdit au barbier de raser un homme de ce groupe. Il ne devrait donc pas se raser.

2. Seconde possibilité. Le barbier ne se rase pas. Il appartient alors aux hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes. Or la règle oblige le barbier à raser chaque homme de ce groupe. Il devrait donc se raser.

3. Contrôle. Les deux réponses possibles ont été examinées, et chacune entraîne sa négation. Le résultat vérifiable n’est pas une réponse « oui » ou « non » : c’est l’impossibilité de satisfaire simultanément toute la consigne.

Face à une définition qui classe des objets selon une propriété qu’ils peuvent avoir envers eux-mêmes, on teste l’objet chargé d’effectuer le classement. Si son propre cas inverse aussitôt le verdict, la définition est incohérente.

Pour contrôler un énoncé en langage courant, on repère les mots qui imposent les deux directions, comme « exactement » ou « si et seulement si ». Une simple implication est l’alternative à examiner lorsque la réciproque n’est pas réellement exigée.

En théorie naïve des ensembles, l’histoire sert d’alerte : une règle de sélection apparemment claire peut devenir contradictoire lorsqu’elle s’applique à elle-même. Le bon geste consiste à vérifier le domaine et le cas autoréférent avant d’admettre l’objet défini.

Le paradoxe du barbier et le paradoxe de Russell. Le premier est la mise en scène du mécanisme ; le second concerne les ensembles et leurs conditions de formation. Si l’énoncé parle d’un homme qui rase, il utilise l’illustration. S’il parle d’ensembles définis par l’appartenance à eux-mêmes, il vise la forme ensembliste que l’histoire illustre.

Une contradiction et une hésitation. Une hésitation laisserait plusieurs choix compatibles. Ici, les deux choix possibles violent chacun la même règle. Le critère décisif est donc l’échec de toutes les possibilités, et non la difficulté à choisir entre elles.

Oublier le mot « exactement ». Si le barbier rase certains hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes sans que la réciproque soit imposée, les deux branches ne sont plus forcées. Il faut vérifier les deux sens de la règle avant d’annoncer une contradiction.

Sortir le barbier du domaine. Si la règle concerne les autres hommes seulement, son comportement personnel reste libre. Le symptôme est l’impossibilité de remplacer l’homme quelconque par le barbier ; il faut alors respecter ce domaine restreint.

Chercher un compromis. Se raser parfois ou partiellement ne répond pas à l’énoncé binaire donné, qui demande si le barbier se rase lui-même. Ajouter une nouvelle convention change le problème ; il faut d’abord conclure que le personnage défini par la règle initiale est impossible.

Bertrand Russell permet de replacer l’auteur cité dans son parcours intellectuel et d’ouvrir la réflexion au-delà de cette seule illustration.

La théorie des ensembles pour tous prolonge la question du cadre ensembliste dont le paradoxe révèle les limites naïves.