paradoxe de Berry

Imaginez un catalogue de tous les entiers que l'on peut désigner avec quinze mots au plus. Certaines phrases sont courtes, d'autres trop longues. On demande alors le plus petit entier absent du catalogue.

Le piège surgit quand la demande elle-même est assez courte pour entrer dans le catalogue. Elle semble désigner l'entier qu'elle affirme impossible à désigner ainsi. Le paradoxe ne vient donc pas d'un calcul sur les entiers, mais du mot descriptible et du langage utilisé pour en parler.

Le paradoxe de Berry, ou antinomie de Berry, est une contradiction apparente produite par une description qui parle de sa propre longueur. On fixe un seuil, ici quinze mots, puis on considère les entiers naturels qui ne peuvent pas être décrits sous ce seuil. L'expression classique prétend isoler le plus petit d'entre eux tout en restant elle-même sous la limite annoncée.

Le raisonnement suppose que « décrire un entier » soit une propriété suffisamment précise pour former un ensemble et y choisir un plus petit élément. Or la langue ordinaire ne fixe ni les expressions admises, ni la manière de compter les mots, ni le critère garantissant qu'une phrase désigne un entier unique. Elle mêle aussi le langage qui nomme les entiers et le métalangage qui juge les descriptions.

L'auto-référence problématique apparaît lorsque ce jugement est appliqué à la phrase qui l'exprime. Le paradoxe met ainsi en évidence l'ambiguïté de descriptible ; il ne démontre pas qu'un entier naturel possède simultanément deux propriétés contradictoires dans un langage formel déjà rigoureusement spécifié.

Fixons la limite à quinze mots et supposons que l'expression « le plus petit entier naturel non descriptible en quinze mots ou moins » désigne un entier unique. Si cette expression respecte elle-même la limite, alors elle décrit cet entier en quinze mots ou moins. L'entier est donc à la fois déclaré non descriptible sous la limite et décrit sous cette même limite : c'est la contradiction apparente.

Le raisonnement demande trois conditions. Une limite de longueur doit d'abord être fixée selon une convention de comptage. Il faut ensuite que « descriptible » sépare sans ambiguïté les entiers décrits des autres. Enfin, la description du plus petit entier supposé non descriptible doit elle-même être admise parmi les expressions comptées.

Un contre-cas montre le blocage : si deux lecteurs ne comptent pas de la même façon un mot composé, ils peuvent classer différemment la même phrase. La limite ne suffit alors pas à produire une contradiction rigoureuse. Il faut remplacer la langue ordinaire par un langage et une mesure de longueur explicitement définis, tout en distinguant le langage étudié de son métalangage.

On soumet au comptage l'expression exacte « le plus petit entier naturel qui ne peut être décrit en quinze mots ou moins ». Convention : chaque unité séparée par une espace compte pour un mot ; les guillemets et le point ne comptent pas. On obtient : le (1), plus (2), petit (3), entier (4), naturel (5), qui (6), ne (7), peut (8), être (9), décrit (10), en (11), quinze (12), mots (13), ou (14), moins (15).

1. On suppose que cette expression désigne un entier naturel unique : le plus petit qui ne peut être décrit en quinze mots ou moins.

2. Avec la convention affichée, l'expression compte quinze mots. Quinze est inférieur ou égal à quinze : elle satisfait donc sa propre limite de longueur.

3. Cette expression fournit alors une description de l'entier qu'elle qualifie de non descriptible sous la même limite.

Le contrôle consiste à comparer les deux nombres : 15 ≤ 15. La contradiction apparaît bien sous les hypothèses choisies. Elle signale toutefois que le sens de « description » et la convention de comptage doivent être examinés, non qu'un calcul arithmétique serait faux.

Face à une phrase qui affirme quelque chose sur sa propre formulation, on repère d'abord les mots qui parlent des mots : « descriptible » et « en quinze mots ». Ce geste fait apparaître le changement de niveau de langage.

Pour tester l'argument, on fixe la convention de comptage et le sens de « décrire ». Si ces règles restent implicites, on préfère conclure à une ambiguïté de la langue ordinaire plutôt qu'à une contradiction formelle.

Quand une propriété porte sur les expressions d'un langage, on l'énonce dans un métalangage distinct. Ce choix est préférable dès que la phrase peut devenir l'un des objets auxquels elle applique son propre critère.

Paradoxe de Richard. La source les dit très proches, mais le paradoxe de Berry prend ici la forme d'une borne sur le nombre de mots et du plus petit entier qui y échapperait. La présence de cette description minimale et de ce seuil caractérise l'énoncé de Berry.

Le compte des mots n'est pas intrinsèque. Une graphie composée ou une reformulation peut changer le total observable. Il faut annoncer la langue, la phrase exacte et la convention de segmentation avant de comparer ce total au seuil de quinze.

Désigner n'est pas seulement aligner des mots. Une phrase courte peut être ambiguë, fausse ou ne désigner aucun entier unique. Si l'unicité manque, l'expression « le plus petit » ne répare pas le raisonnement ; il faut d'abord définir ce qui compte comme description valide.

Le métalangage ne doit pas passer inaperçu. Le symptôme est qu'un prédicat portant sur les phrases s'applique à la phrase qui le formule. Il faut séparer les niveaux de langage ou restreindre explicitement le domaine du prédicat.

La contradiction est conditionnelle. Elle apparaît seulement si la phrase est admise comme une description de l'entier visé et si son compte respecte le seuil. Sans ces hypothèses, l'énoncé montre une imprécision sémantique plutôt qu'une impossibilité arithmétique.

Le paradoxe de Richard permet d'examiner la parenté signalée par Russell et une autre difficulté née de descriptions qui se prennent elles-mêmes pour objet.

Le métalangage donne le vocabulaire nécessaire pour séparer une phrase-objet du discours qui affirme qu'elle est courte ou descriptible.