vérité de Tarski

Prenons la phrase « 2 est pair ». Cette phrase parle d’un nombre. Pour dire qu’elle est vraie, il faut changer de point de vue et parler de la phrase elle-même. Le premier niveau est le langage-objet ; le second est le métalangage.

La vérité de Tarski repose sur cette séparation. Le métalangage reprend ce que le langage-objet peut exprimer et possède en plus les moyens de nommer ses phrases et d’en parler comme vraies ou fausses. La séparation évite qu’un même langage utilise sans restriction son propre mot « vrai » et construise une contradiction.

La vérité de Tarski est une conception sémantique : elle relie les phrases d’un langage à ce qu’elles disent. Le langage-objet est celui dont on étudie les énoncés. Le métalangage est celui dans lequel on nomme ces énoncés, on les interprète et on formule leur condition de vérité.

Pour une phrase du langage-objet, la formulation attendue associe l’affirmation métalinguistique qu’elle est vraie à la situation qu’elle décrit. Avec la phrase « 2 est pair », ce schéma s’écrit : $\text{« 2 est pair » est vraie}\leftrightarrow 2\text{ est pair}\backslash text\{«\; 2\; est\; pair\; »\; est\; vraie\}\backslash leftrightarrow\; 2\backslash text\{\; est\; pair\}$. Le membre de gauche mentionne une phrase ; celui de droite emploie les mots de cette phrase pour parler du nombre 2.

Le métalangage doit donc être assez riche pour contenir le langage-objet et pour parler de ses expressions. Le prédicat « est vraie » appartient à ce niveau supérieur. Si un langage suffisamment expressif contient sans restriction son propre prédicat de vérité, des phrases autoréférentielles peuvent conduire à une contradiction. La vérité est ainsi définie relativement au langage-objet considéré, et non par un prédicat universel utilisable au même niveau dans tous les cas.

On considère un langage-objet L, qui contient la phrase E : « 2 est pair ». On utilise aussi un métalangage M, qui peut citer E, reprendre les mots de L et employer le prédicat « est vraie ».

1. Dans L, E affirme une propriété du nombre 2.
2. Dans M, on nomme la phrase E au lieu de parler directement du nombre.
3. On relie l’attribution de vérité à ce que dit E :

4. Le côté gauche relève de M ; le côté droit exprime dans M la même condition que la phrase de L. Le contrôle consiste à masquer successivement chaque côté : l’un doit attribuer la vérité à E, l’autre doit énoncer exactement ce que E dit. Si les deux côtés parlent directement du nombre, le changement de niveau a disparu ; s’ils parlent tous deux de la phrase, sa condition de vérité manque.

Dans un raisonnement de logique, on repère d’abord le niveau de chaque phrase. Si elle parle de nombres ou d’objets, elle relève du langage-objet ; si elle cite une formule ou lui attribue la vérité, il faut passer au métalangage.

Pour définir « vrai » sans boucle, on fixe le langage-objet concerné puis on formule ses conditions de vérité dans un langage plus riche. Employer directement « vrai dans L » au sein de L n’est pas l’alternative sûre lorsque L peut parler de ses propres phrases.

Face à une contradiction autoréférentielle, le bon geste est de demander qui parle de quelle phrase. Une hiérarchie de niveaux convient lorsque le prédicat de vérité vise les phrases du niveau inférieur ; un prédicat de vérité sans niveau clairement indiqué doit être examiné avec prudence.

Vérité et démontrabilité. Dire qu’une phrase est vraie relie son contenu à ce qu’elle affirme ; dire qu’elle est démontrable signifie qu’une preuve la produit selon des règles. Le critère est donc la nature de la justification : condition sémantique dans le premier cas, dérivation formelle dans le second.

Usage et mention. Dans « 2 est pair », les mots servent à parler du nombre 2 : la phrase est employée. Dans « “2 est pair” contient trois mots », la suite de mots devient l’objet dont on parle : elle est mentionnée. Cette différence rend visible le passage du langage-objet au métalangage.

Vérité de Tarski et paradoxe de Banach–Tarski. La première concerne la vérité, les langages et leurs niveaux. Le second est repérable au mot « Banach » et ne fournit pas une définition sémantique de la vérité. Le nom de Tarski seul ne suffit donc pas à identifier la notion.

« Contenir » ne signifie pas seulement recopier des signes. Le métalangage doit pouvoir reprendre ce que dit le langage-objet, nommer ses expressions et leur appliquer le prédicat de vérité. Une simple liste des phrases de L ne suffit pas si M ne peut rien affirmer à leur sujet.

Toute autoréférence n’est pas automatiquement contradictoire. Le danger apparaît lorsqu’un langage suffisamment expressif peut appliquer sans restriction son propre prédicat de vérité et former une phrase du type « cette phrase n’est pas vraie ». Il faut alors séparer les niveaux au lieu de conclure que toute phrase parlant d’elle-même est fausse.

Le métalangage n’est pas un sommet absolu. Il définit la vérité pour un langage-objet déterminé. Si l’on veut ensuite parler de la vérité des phrases de ce métalangage, le même problème de niveau réapparaît ; on doit préciser un niveau supérieur plutôt que réutiliser silencieusement le même prédicat.

Tarski Alfred — Situe le logicien auquel cette conception sémantique de la vérité est attribuée.

métalangage — Approfondit le niveau de langage utilisé pour nommer et décrire les expressions d’un autre langage.

paradoxe — Éclaire la forme des contradictions que la séparation entre langage-objet et métalangage cherche à prévenir.