Logique et ensemblesNotion · Glossaire
Disjonction de cas (raisonnement par)
La disjonction de cas est une méthode de démonstration en mathématiques consistant à envisager séparément toutes les situations possibles couvrant l'ensemble du problème, puis à traiter chaque cas indépendamment. Pour que la démonstration soit valide, il faut que les cas envisagés soient exhaustifs (couvrant tous les cas possibles) et que chaque cas soit correctement traité. Cette technique est très courante, par exemple pour démontrer des propriétés selon la parité d'un entier ou le signe d'un réel.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les deux conditions d'une preuve par cas valide.
- Refaire une démonstration fondée sur la parité d'un entier.
- Distinguer exhaustivité des cas et exclusion mutuelle.
- Éviter l'oubli d'un cas et la simple vérification par exemples.
En clair
Prenez un entier au hasard. Il est forcément pair ou impair. Pour prouver une propriété valable pour tous les entiers, on peut donc ouvrir deux chemins : étudier les pairs, puis les impairs.
Ce raisonnement est une disjonction de cas. Chaque possibilité doit appartenir à au moins un chemin, et chaque chemin doit conduire à la conclusion annoncée. Si une possibilité est oubliée, la preuve reste incomplète.
Définition
La disjonction de cas, aussi appelée raisonnement par cas, est une méthode de preuve. On partage l'ensemble des situations étudiées en plusieurs cas, puis on établit la même conclusion dans chacun. Les cas sont exhaustifs lorsque toute situation possible relève d'au moins l'un d'eux. Cette couverture complète est indispensable.
Si les cas sont notés C1, C2, …, Cr et la conclusion P, le schéma logique est : . Le premier groupe exprime l'exhaustivité ; les suivants prouvent P cas par cas.
Des cas mutuellement exclusifs, qui ne peuvent pas se produire simultanément, rendent souvent le découpage plus lisible, mais cette exclusivité n'est pas nécessaire à la validité. Des cas peuvent se chevaucher : il suffit qu'ils couvrent toutes les possibilités et que la preuve soit correcte dans chacun. La parité d'un entier et le signe d'un réel fournissent des découpages courants.
Un exemple, pas à pas
Montrons que, pour tout entier n, le produit de n par l'entier suivant n + 1 est pair. Les données sont : n est un entier ; tout entier est pair ou impair ; k désigne, dans chaque cas, un entier.
1. Cas où n est pair. On écrit n = 2k. Alors n(n + 1) = 2k(n + 1). Ce produit possède un facteur 2 : il est pair.
2. Cas où n est impair. On écrit n = 2k + 1. L'entier suivant vaut n + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1). Ainsi n(n + 1) = 2n(k + 1), donc le produit est encore pair.
3. Conclusion. Les deux cas couvrent tous les entiers et donnent la même conclusion. Le contrôle se refait avec n = 4, qui donne 4 × 5 = 20, puis n = 5, qui donne 5 × 6 = 30 : les deux produits sont pairs.
En pratique
Pour une propriété portant sur tous les entiers, la parité offre deux cas observables : pair et impair. On choisit ce découpage lorsque l'expression change naturellement avec un facteur 2 ; une transformation directe reste préférable si elle traite tous les entiers sans séparation.
Pour une propriété portant sur un réel, le signe peut imposer plusieurs cas. Le bon découpage dépend des valeurs où l'expression change de comportement : négatif, nul et positif si zéro exige un traitement propre. Si le signe n'affecte aucun argument, séparer les cas alourdit inutilement la preuve.
Avant de rédiger, on inscrit la liste des cas et on vérifie qu'aucune valeur ne reste hors du partage. Après la rédaction, on contrôle séparément que chaque branche atteint exactement la conclusion commune.
À ne pas confondre
Le raisonnement par l'absurde suppose la négation de la conclusion et cherche une contradiction. La disjonction de cas, elle, partage les situations possibles et prouve directement la conclusion dans chaque branche. Pour n pair ou impair, aucune contradiction n'est nécessaire.
La contraposée remplace une implication « si A, alors B » par l'implication équivalente « si non-B, alors non-A ». Elle transforme une seule implication ; un raisonnement par cas traite plusieurs hypothèses dont la réunion couvre le problème.
Limites et pièges
Cas oublié. Pour classer un réel selon son signe, « négatif ou positif » laisse zéro de côté. Le symptôme est une valeur qui ne satisfait aucune hypothèse. Il faut ajouter le cas nul ou reformuler le partage avec des inégalités qui couvrent zéro.
Branche seulement illustrée. Vérifier n = 4 dans le cas pair et n = 5 dans le cas impair ne prouve rien pour tous les entiers. Les essais contrôlent le calcul ; la preuve doit conserver l'entier arbitraire k dans chaque branche.
Conclusion différente selon le cas. Une branche qui aboutit à une propriété plus faible ne suffit pas. Il faut démontrer la même conclusion annoncée dans toutes les branches, ou affaiblir explicitement l'énoncé global.
Chevauchement pris pour une erreur. Deux cas peuvent partager certaines situations sans invalider la preuve. Le véritable test est double : leur réunion couvre-t-elle toutes les possibilités, et chaque cas établit-il bien la conclusion ?
Pour aller plus loin
La congruence modulo n étend le découpage pair-impair à des classes de restes et fournit des cas exhaustifs pour les entiers.
Le Raisonnement par l'absurde présente une autre stratégie de preuve, utile pour choisir entre séparation des situations et recherche d'une contradiction.
La contraposée montre comment transformer une implication sans découper le domaine en plusieurs cas.
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