diagramme d'Euler

Imaginez des objets triés selon deux propriétés. Un contour entoure tous ceux qui possèdent la première ; un autre entoure ceux qui possèdent la seconde. Si certains objets ont les deux propriétés, les contours se croisent. Si tout le premier groupe appartient au second, son contour tient à l'intérieur de l'autre. Si aucun objet n'est commun, les contours restent séparés.

Le diagramme d'Euler rend ainsi une relation logique visible d'un seul regard : se recouper, être inclus ou ne rien partager.

Un diagramme d'Euler représente des propriétés ou des ensembles au moyen de figures géométriques fermées, généralement des cercles. L'intérieur de chaque figure correspond au domaine où la propriété associée est vraie. La position relative des figures encode donc la relation entre les propriétés, et non une mesure de leur taille.

Avec deux propriétés, les figures peuvent être sécantes : leur zone commune réunit alors les éléments qui possèdent les deux propriétés. Une figure entièrement contenue dans l'autre signifie que tous les éléments du premier ensemble appartiennent au second. Deux figures disjointes indiquent qu'aucun élément n'appartient aux deux ensembles. Ces trois configurations servent à analyser des syllogismes et à visualiser des opérations sur les ensembles.

Leonhard Euler (1707-1783), mathématicien suisse, a introduit cette représentation dans l'analyse des syllogismes. Avec quatre propriétés ou davantage, des contours circulaires ne suffisent plus si l'on veut distinguer toutes les combinaisons d'appartenance possibles ; un diagramme d'Euler peut néanmoins représenter les relations pertinentes au moyen de contours adaptés. John Venn l'a ensuite modifiée pour donner naissance au diagramme de Venn, aussi nommé dans certains contextes diagramme d'Euler-Venn.

On rencontre un diagramme d'Euler dans un problème de logique, un classement d'objets ou une question sur des ensembles. Il se reconnaît à ses contours fermés, à un nom de propriété près de chaque contour et à des zones qui peuvent se chevaucher, s'emboîter ou rester séparées. Des éléments ou des effectifs peuvent être placés dans les régions.

Le support indique quelles propriétés sont compatibles, lesquelles impliquent une autre propriété et lesquelles s'excluent. La surface dessinée n'indique aucun effectif à elle seule : c'est la position des contours et des éléments qui porte l'information logique.

La grandeur à lire n'est pas une longueur ou une aire, mais une relation d'appartenance. Commencez par identifier la propriété associée à chaque contour. Examinez ensuite si les contours se croisent, s'emboîtent ou sont disjoints. Situez enfin chaque élément dans toutes les régions auxquelles il appartient : un élément placé dans le chevauchement vérifie les deux propriétés.

La convention essentielle est simple : être à l'intérieur d'un contour signifie posséder la propriété correspondante. L'œil peut croire qu'une grande zone contient nécessairement plus d'éléments. Or la forme et l'aire servent d'abord à séparer des domaines logiques. Pour connaître un effectif, il faut compter les éléments inscrits ou lire un nombre explicitement indiqué.

On classe les douze entiers de 1 à 12. L'ensemble A contient les nombres pairs : 2, 4, 6, 8, 10 et 12. L'ensemble B contient les multiples de 3 : 3, 6, 9 et 12.

1. Placez 6 et 12 dans la zone commune, car ces deux nombres appartiennent à A et à B.

2. Placez 2, 4, 8 et 10 dans la partie de A extérieure à B. Placez 3 et 9 dans la partie de B extérieure à A. Le diagramme matérialise ainsi deux propriétés sécantes.

3. Les nombres 1, 5, 7 et 11 restent hors des deux contours, puisqu'ils ne possèdent aucune des deux propriétés.

Le contrôle consiste à retrouver les douze nombres une seule fois : 4 dans A seulement, 2 dans la zone commune, 2 dans B seulement et 4 hors des deux ensembles, soit 4 + 2 + 2 + 4 = 12.

Dans un exercice de classement, le diagramme aide à placer chaque objet selon plusieurs propriétés. On l'utilise lorsque les inclusions et les chevauchements importent davantage que l'ordre des objets. Une liste séparée convient mieux si chaque objet n'appartient qu'à une seule catégorie.

Dans un raisonnement logique, les contours traduisent les domaines de validité des termes. On vérifie alors visuellement si deux propriétés peuvent coexister, si l'une implique l'autre ou si elles s'excluent. Une formulation écrite reste préférable lorsque quatre propriétés ou davantage doivent être suivies simultanément.

Pour des opérations sur les ensembles, on repère la région concernée avant de compter ses éléments. Le diagramme est utile si la relation spatiale clarifie l'opération ; une écriture ensembliste est plus compacte quand le dessin devient chargé.

Diagramme de Venn. Le diagramme de Venn est issu de modifications apportées par John Venn à la représentation d'Euler. Le critère décisif est le traitement des régions possibles : un diagramme d'Euler montre les relations retenues entre les ensembles et peut emboîter deux contours pour signifier une inclusion. Un diagramme de Venn à deux ensembles conserve des contours sécants et permet de repérer chaque combinaison d'appartenance, même lorsqu'une région est vide.

Quatre propriétés ou davantage. Des contours circulaires ne permettent pas toujours de distinguer toutes les combinaisons d'appartenance. Le symptôme est une combinaison qui ne trouve aucune région distincte. Il faut alors employer des contours adaptés, changer de représentation ou formuler les relations par écrit.

Aire trompeuse. Un contour plus grand peut sembler représenter un ensemble plus nombreux. Sans proportionnalité annoncée, cette impression n'est pas une donnée : seuls les éléments ou les effectifs inscrits doivent être comptés.

Élément sur un contour. Sa propriété devient ambiguë, car l'intérieur code l'appartenance. Il faut déplacer l'élément clairement à l'intérieur ou à l'extérieur de la figure concernée.

Zone vide. Une région sans élément visible ne prouve pas nécessairement qu'elle est logiquement impossible. Il faut distinguer une relation imposée par les contours d'un simple échantillon où aucun élément n'a encore été placé.

Diagramme de Venn — Comparez une représentation qui conserve les différentes combinaisons d'appartenance avec les relations directement dessinées par Euler.