Logique et ensemblesObjet mathématique · Glossaire
Ensemble vide
L'ensemble vide est l'unique ensemble ne contenant aucun élément, noté ∅ ou {}. Il est sous-ensemble de tout ensemble. Toute propriété est vraie pour tous les éléments de l'ensemble vide par vacuité (vérité vacuiste). L'ensemble vide est l'élément neutre pour l'union d'ensembles et l'élément absorbant pour l'intersection. En théorie des catégories, l'ensemble vide est l'objet initial de la catégorie des ensembles.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les notations ∅ et { } sans les confondre avec {∅}.
- Vérifier que ∅ est inclus dans tout ensemble.
- Appliquer les identités de l’union et de l’intersection avec ∅.
- Distinguer une vérité universelle vacuiste d’une affirmation d’existence.
- Relier l’ensemble vide au rôle d’objet initial dans la catégorie des ensembles.
En clair
Prenez trois jetons numérotés 1, 2 et 3, puis retirez-les tous. La collection restante ne contient rien : c’est l’ensemble vide, noté ∅. Le symbole désigne bien un ensemble, mais aucun objet ne se trouve à l’intérieur.
Cette absence n’empêche pas ∅ d’intervenir dans les calculs sur les ensembles. L’ajouter par union ne change rien ; croiser un ensemble avec ∅ ne conserve aucun élément.
Définition
L’ensemble vide est l’unique ensemble qui ne possède aucun élément. On le note ∅ ou par une paire d’accolades sans contenu, { }. Son unicité signifie que deux ensembles dépourvus d’éléments ne sont pas deux objets différents : ils sont tous deux égaux à ∅.
Pour tout ensemble nommé A, l’ensemble vide est inclus dans A. Avec l’union, qui rassemble les éléments, ∅ est neutre : unir A et ∅ redonne A. Avec l’intersection, qui ne garde que les éléments communs, ∅ est absorbant : aucun élément ne peut être commun à A et à un ensemble sans éléments. Ces trois relations s’écrivent .
Une affirmation universelle portant sur les éléments de ∅ est dite vraie par vacuité : il n’existe aucun élément qui puisse la contredire. Enfin, dans la catégorie des ensembles, ∅ est un objet initial : vers chaque ensemble A, il existe une unique fonction partant de ∅.
De quoi c'est fait
Quatre éléments de langage décrivent la structure. Le symbole ∅ nomme l’ensemble. L’appartenance indique quels objets sont ses éléments : ici, aucun. L’inclusion compare ses éléments à ceux d’un autre ensemble : faute d’élément à exclure, ∅ est inclus dans tout ensemble. Enfin, les opérations d’union et d’intersection déterminent son comportement avec cet autre ensemble.
L’absence d’éléments entraîne donc à la fois l’inclusion universelle et la vérité vacuiste. Elle explique aussi les deux rôles opératoires opposés : l’union ne reçoit rien de nouveau, tandis que l’intersection ne peut rien conserver. Le nom du symbole ou la forme des accolades ne définit pas l’objet ; seule compte l’absence de tout élément.
Un exemple, pas à pas
On prend l’ensemble A formé des nombres 1, 2 et 3, et l’ensemble vide ∅. On veut vérifier l’inclusion, l’union, l’intersection et une affirmation universelle sur ∅.
Étape 1. Cherchez dans ∅ un élément qui n’appartiendrait pas à A. Il n’en existe aucun. La condition d’inclusion ne rencontre donc aucun contre-exemple, et .
Étape 2. Réunissez les éléments de A et ceux de ∅. Seuls 1, 2 et 3 apparaissent, donc .
Étape 3. Cherchez les éléments communs à A et à ∅. Il n’y en a aucun, donc . Le schéma rassemble ces deux contrôles sur le même ensemble A.
Étape 4. Testez l’énoncé « tout élément de ∅ est supérieur à 10 ». Aucun élément ne le réfute : l’énoncé est vrai par vacuité. En revanche, « il existe un élément de ∅ supérieur à 10 » est faux, car une existence exige au moins un témoin.
Le contrôle est refaisable sans calcul : il suffit, à chaque étape, de demander si un élément de ∅ pourrait fournir une nouveauté, un point commun, un contre-exemple ou un témoin. La réponse est toujours non.
En pratique
Après un filtrage, si aucun objet ne satisfait le critère, l’ensemble des résultats est ∅. Il faut préférer cette notation à une liste contenant un faux résultat : le test observable est l’absence totale d’éléments retenus.
Dans un calcul d’ensembles, ∅ simplifie immédiatement une union ou une intersection. Avec A = {1, 2, 3}, l’union conserve A, tandis que l’intersection donne ∅. Le symbole à choisir dépend donc de l’opération visible.
Dans un raisonnement universel, un domaine vide impose de chercher d’abord un contre-exemple. S’il n’existe aucun élément du domaine, l’affirmation universelle est vraie par vacuité ; pour une affirmation d’existence, il faut au contraire produire un témoin, ce qui est impossible dans ∅.
À ne pas confondre
Ensemble vide et ensemble contenant l’ensemble vide. ∅ ne contient aucun élément, tandis que {∅} contient exactement un élément, qui est ∅. Leur cardinal vaut donc respectivement 0 et 1.
Ensemble vide et ensemble contenant zéro. Le nombre 0 est un élément possible. Ainsi, {0} n’est pas vide : il contient 0, alors que ∅ ne contient même pas ce nombre.
Appartenance et inclusion. L’écriture ∅ ⊆ A est vraie pour tout ensemble A, mais l’écriture ∅ ∈ A ne l’est que si A contient explicitement l’ensemble vide comme élément. Pour A = {1, 2, 3}, ∅ est inclus dans A sans lui appartenir.
Limites et pièges
Accolades trompeuses. Une paire d’accolades sans contenu, { }, note ∅. Dès qu’un symbole figure entre les accolades, l’ensemble possède un élément : {∅} n’est donc pas vide. Il faut compter ce qui est entre les accolades, pas les accolades elles-mêmes.
Vérité vacuiste mal étendue. Sur ∅, toute affirmation de la forme « tous les éléments vérifient une propriété » est vraie faute de contre-exemple. Une affirmation de la forme « il existe un élément » reste fausse. Il faut identifier le quantificateur avant de conclure.
Neutre ou absorbant. ∅ est neutre pour l’union, mais absorbant pour l’intersection. Si un calcul donne A après une intersection avec ∅, les deux opérations ont été interverties : il faut rechercher les éléments communs, et il n’y en a aucun.
Fonction issue de ∅. Il existe une unique fonction de ∅ vers tout ensemble A, puisque aucune image d’élément n’est à choisir. En sens inverse, une fonction de A vers ∅ n’existe que lorsque A est lui-même vide. Il faut donc contrôler le sens de la flèche.
Pour aller plus loin
Inclusion — Préciser le critère qui fait de ∅ un sous-ensemble de tout ensemble.
Intersection — Approfondir l’opération pour laquelle ∅ est absorbant.
Cardinal d’un ensemble — Relier l’absence d’éléments au cardinal nul et distinguer ∅ de {∅}.
Théorie des catégories — Situer le rôle de ∅ comme objet initial dans la catégorie des ensembles.
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