Tanimoto (coefficient de)

Deux listes contiennent parfois des éléments communs et des éléments propres. Le coefficient de Tanimoto compte la part commune parmi tous les éléments présents dans au moins une liste. Si A et B ont trois éléments communs et six éléments distincts au total, leur coefficient vaut 3/6, soit 1/2.

Le résultat se lit comme un degré de ressemblance : plus la part commune occupe l’union, plus le coefficient est grand. Le même comptage s’applique à des vecteurs binaires, dont chaque position indique seulement la présence ou l’absence d’une caractéristique.

Soient deux ensembles A et B. Leur intersection, notée A ∩ B, réunit les éléments présents dans les deux ensembles. Leur union, notée A ∪ B, réunit les éléments présents dans au moins l’un des deux. Le symbole |E| désigne le nombre d’éléments d’un ensemble E. Lorsque l’union n’est pas vide, le coefficient de Tanimoto est :

Le coefficient est compris entre 0 et 1 : il vaut 0 lorsque les ensembles sont disjoints et leur union non vide, et 1 lorsqu’ils sont égaux et non vides. Pour deux vecteurs binaires x et y de même longueur, chaque 1 repère une caractéristique présente. En notant c le nombre de positions où x et y valent tous deux 1, a le nombre de 1 dans x et b le nombre de 1 dans y, le coefficient vaut c/(a + b − c), à condition que le dénominateur ne soit pas nul. Cette écriture effectue le même comptage que la formule ensembliste ; dans ce cadre, le coefficient de Tanimoto est l’indice de Jaccard.

On compare les ensembles A = {a, b, c, d} et B = {b, c, d, e, f}. A contient 4 éléments, B en contient 5, et seules les lettres a à f interviennent.

1. Repérer l’intersection : A ∩ B = {b, c, d}. Elle contient 3 éléments.
2. Réunir sans répétition tous les éléments : A ∪ B = {a, b, c, d, e, f}. L’union en contient 6.
3. Diviser le nombre d’éléments communs par le nombre total d’éléments distincts : T(A, B) = 3/6 = 1/2.

Le coefficient de Tanimoto vaut donc exactement 1/2, soit 0,5. Pour contrôler le calcul, on peut aussi compter 4 + 5 − 3 = 6 éléments dans l’union : les 3 éléments communs ne doivent être comptés qu’une fois.

En bioinformatique, deux ensembles ou deux vecteurs binaires peuvent résumer des caractéristiques présentes. Le coefficient compare alors la part de caractéristiques communes à l’ensemble de celles qui apparaissent dans au moins l’un des deux profils.

En apprentissage automatique, il convient aux données binaires lorsque les 1 représentent les présences que l’on souhaite rapprocher. Une autre mesure est préférable si les valeurs ne sont pas binaires ou si les absences communes doivent peser dans la comparaison.

En chimie, il sert à comparer des structures moléculaires décrites par des caractéristiques binaires. Le geste reste celui de l’exemple : compter les caractéristiques partagées, puis les rapporter à toutes celles présentes dans l’une ou l’autre structure.

Coefficient de similarité et mesure de distance. Le coefficient de Tanimoto augmente lorsque la ressemblance augmente : deux mêmes ensembles non vides donnent 1, tandis que deux ensembles disjoints dont l’union est non vide donnent 0. Une distance suit le sens opposé et augmente lorsque les objets s’éloignent. Le coefficient lui-même est donc une similarité, même s’il peut servir de point de départ à une distance.

Tanimoto et Jaccard pour des ensembles. Dans le cas ensembliste présenté ici, il ne s’agit pas de deux calculs à choisir : les deux noms désignent le même rapport entre intersection et union. L’exemple A = {a, b, c, d} et B = {b, c, d, e, f} donne donc 1/2 sous les deux appellations.

Deux ensembles vides. Si A et B sont tous deux vides, l’intersection et l’union ont pour cardinal 0 : la formule produit 0/0 et ne définit aucune valeur. Il faut annoncer une convention adaptée au contexte au lieu d’attribuer silencieusement 0 ou 1.

Sortir du domaine binaire. La règle c/(a + b − c) repose sur des positions valant 0 ou 1. Si les composantes sont des nombres quelconques, ce simple comptage des présences ne s’applique plus ; il faut préciser la variante retenue ou choisir une mesure adaptée aux données.

Confondre objets et descriptions. Le coefficient compare les ensembles ou vecteurs qui lui sont fournis. Un résultat de 1 établit que ces descriptions sont identiques pour les caractéristiques retenues ; il ne suffit pas, à lui seul, à affirmer que les objets décrits sont identiques sous tous leurs aspects.

L’article Jaccard (indice de) approfondit l’appellation équivalente du rapport intersection sur union dans le cas des ensembles.