Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Jaccard (indice de)
L'indice de Jaccard est une mesure de similarité entre deux ensembles finis A et B. Lorsque leur union est non vide, il est défini comme le rapport de la taille de leur intersection à la taille de leur union : J(A, B) = |A ∩ B| / |A ∪ B|. Il vaut alors 0 si les ensembles sont disjoints et 1 s'ils sont égaux. La distance de Jaccard est 1 - J(A, B). Si A et B sont tous deux vides, ces deux mesures dépendent de la convention choisie. L'indice de Jaccard est utilisé en fouille de données, en bioinformatique (comparaison de génomes) et en traitement du langage naturel pour mesurer la ressemblance entre documents.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier l’intersection et l’union à une mesure comprise entre 0 et 1.
- Refaire le calcul de Jaccard sur deux ensembles de quatre éléments.
- Passer de la similarité de Jaccard à la distance complémentaire.
- Traiter le cas indéfini de deux ensembles vides et les pertes dues aux doublons.
En clair
Deux lecteurs ont chacun retenu quatre notions : algèbre, géométrie, probabilités et logique pour le premier ; géométrie, probabilités, logique et calcul pour le second. Trois choix sont communs, tandis que les deux listes réunies contiennent cinq notions distinctes.
L’indice de Jaccard compare précisément ces deux nombres : ce qui est partagé et tout ce qui apparaît au moins une fois. Ici, trois notions sur cinq sont communes, donc la similarité vaut 0,6. Plus le résultat approche de 1, plus les ensembles se ressemblent.
Définition
L’indice de Jaccard mesure la similarité entre deux ensembles finis. L’ensemble A et l’ensemble B peuvent, par exemple, regrouper des caractéristiques, des mots ou des éléments relevés dans deux objets. Leur intersection contient les éléments présents dans A et dans B. Leur union contient chaque élément présent dans au moins l’un des deux ensembles, sans compter deux fois les éléments communs.
La taille d’un ensemble étant son nombre d’éléments, l’indice est . Lorsque l’union n’est pas vide, sa valeur est comprise entre 0 et 1. Elle vaut 0 pour deux ensembles disjoints et 1 pour deux ensembles égaux non vides. Si A et B sont tous deux vides, le quotient prend la forme 0/0 : la formule ne fixe pas de valeur et il faut annoncer la convention choisie.
Lorsque J(A,B) est défini, la distance de Jaccard complète la similarité : . Pour deux ensembles vides, elle dépend donc de la convention retenue pour J. Une forte similarité donne une faible distance. L’indice sert en fouille de données, en bioinformatique pour comparer des génomes et en traitement du langage naturel pour mesurer la ressemblance entre documents.
Un exemple, pas à pas
Deux listes de notions sont comparées. La première est A = {algèbre, géométrie, probabilités, logique}. La seconde est B = {géométrie, probabilités, logique, calcul}. Chaque liste contient quatre éléments.
Étape 1. Repérez les éléments présents dans les deux listes. L’intersection contient géométrie, probabilités et logique, soit 3 éléments.
Étape 2. Réunissez les listes sans répéter les choix communs. L’union contient algèbre, géométrie, probabilités, logique et calcul, soit 5 éléments.
Étape 3. Divisez la taille de l’intersection par celle de l’union : . La similarité de Jaccard des deux listes vaut 0,6.
Étape 4. Soustrayez la similarité à 1 : . La distance de Jaccard vaut 0,4.
Le contrôle est immédiat : 3 éléments communs ne peuvent pas dépasser les 5 éléments distincts, donc 3/5 appartient bien à l’intervalle [0, 1]. La somme de la similarité et de la distance vaut aussi 0,6 + 0,4 = 1. Une représentation des ensembles rend visibles les trois éléments communs et les cinq éléments comptés dans l’union.
En pratique
En fouille de données, représentez deux objets par les ensembles de caractéristiques qu’ils possèdent, puis comptez les caractéristiques communes et distinctes. Si leur quantité ou leur intensité importe, conservez ces valeurs au lieu de les réduire à une simple présence.
En bioinformatique, l’indice compare des ensembles d’éléments relevés dans deux génomes. Si l’ordre ou la position de ces éléments doit intervenir, une comparaison qui conserve cette information est préférable.
Pour deux documents, formez par exemple l’ensemble des mots retenus et mesurez leur recouvrement. Si les répétitions d’un mot doivent compter, gardez plutôt ses fréquences : un ensemble efface les doublons.
À ne pas confondre
L’indice de Jaccard est une similarité, tandis que la distance de Jaccard mesure l’écart complémentaire. Le critère est le sens de variation : davantage d’éléments communs fait monter l’indice et baisser la distance. Dans l’exemple, les mêmes listes donnent une similarité de 0,6 et une distance de 0,4.
Limites et pièges
Deux ensembles vides. L’intersection et l’union contiennent alors 0 élément : le quotient devient 0/0. La formule est indéfinie dans ce cas charnière. Il faut choisir et documenter une convention avant de comparer des résultats.
Doublons perdus. Un ensemble ne conserve ni répétition ni fréquence. Deux documents où les mêmes mots apparaissent dans des proportions très différentes peuvent donc obtenir l’indice 1. Si les fréquences comptent, il faut les conserver dans les données comparées.
Éléments mal définis. Un changement de découpage modifie l’intersection et l’union avant même le calcul. Le symptôme est un indice différent pour les mêmes objets selon les mots ou caractéristiques retenus. Il faut fixer cette règle de sélection avant toute comparaison.
Valeurs extrêmes. Pour une union non vide, J = 0 signifie qu’aucun élément n’est commun et J = 1 que les ensembles sont égaux. Ces bornes décrivent le recouvrement des ensembles choisis, pas une ressemblance absolue des objets d’origine.
Pour aller plus loin
Intersection : approfondissez l’opération qui isole les éléments communs et fournit le numérateur de l’indice de Jaccard.
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