Inclusion

Prenons deux boîtes de nombres. La petite contient 1 et 3 ; la grande contient 1, 2 et 3. Chaque nombre de la petite se retrouve dans la grande : la petite collection est donc incluse dans la grande. Peu importe que la grande possède un élément supplémentaire. Pour décider d'une inclusion, on vérifie seulement qu'aucun élément du premier ensemble ne manque dans le second.

Soient deux ensembles, nommés A et B. Dire que A est inclus dans B signifie que chaque élément de A appartient aussi à B. Le symbole ⊆ se lit « est inclus dans ». Pour un objet quelconque nommé x, le critère complet s'écrit :
Cette relation compare donc deux ensembles, et non un élément à un ensemble.

L'inclusion est réflexive : tout ensemble A vérifie A ⊆ A. Elle est antisymétrique : si A ⊆ B et B ⊆ A, alors A = B. Elle est transitive : si A ⊆ B et B ⊆ C, alors A ⊆ C. Ces trois propriétés en font une relation d'ordre partiel. Deux ensembles ne sont toutefois pas toujours comparables : l'un peut contenir un élément absent de l'autre, et réciproquement.

L'inclusion stricte, notée A ⊊ B, ajoute la condition A ≠ B : B possède alors au moins un élément qui n'est pas dans A. Pour un ensemble fixé E, l'ensemble de toutes ses parties, ordonné par ⊆, forme un treillis : deux parties y ont notamment une intersection et une réunion qui jouent le rôle de bornes.

On considère l'ensemble A = {1, 3} et l'ensemble B = {1, 2, 3}. Il faut décider si A est inclus dans B, puis si cette inclusion est stricte. La représentation des deux ensembles rend visible le contrôle effectué élément par élément.

Étape 1. L'élément 1 appartient à A. Il apparaît aussi dans B : il ne contredit pas l'inclusion.

Étape 2. L'autre élément de A est 3. Il appartient également à B. Tous les éléments de A ont maintenant été contrôlés.

Étape 3. Aucun élément de A ne manque dans B, donc A ⊆ B. Le nombre 2 appartient à B mais pas à A, donc A ≠ B et finalement A ⊊ B.

Le contrôle se refait dans l'autre sens : 2 appartient à B mais pas à A, donc B ⊆ A est faux. Cette vérification rappelle que le sens du symbole compte.

Pour contrôler que le premier ensemble est inclus dans le second, on parcourt les éléments du premier. Si chacun figure dans le second ensemble, l'inclusion est établie ; sinon, un seul élément manquant suffit à la réfuter.

Pour comparer deux collections de solutions, l'inclusion indique que toute solution du premier problème résout aussi le second. Si chaque collection possède une solution absente de l'autre, elles ne sont pas comparables par inclusion.

Pour organiser les parties d'un ensemble, on les range selon ⊆ plutôt que selon leur seul nombre d'éléments. Deux parties de même taille peuvent être différentes, tandis qu'une inclusion impose que la première ne contienne aucun élément extérieur à la seconde.

Appartenance. L'écriture 1 ∈ B relie un élément à un ensemble ; l'écriture A ⊆ B relie deux ensembles. Avec A = {1, 3} et B = {1, 2, 3}, on écrit 1 ∈ B et A ⊆ B, mais jamais 1 ⊆ B dans ce contexte.

Principe d'inclusion-exclusion. Cette méthode sert à compter les éléments d'une réunion en corrigeant les doubles comptes. Elle ne teste pas si A est inclus dans B. Dans l'exemple, vérifier 1 puis 3 établit l'inclusion sans appliquer de formule de dénombrement.

L'égalité est permise avec ⊆. Tout ensemble est inclus dans lui-même. Pour exiger qu'un ensemble soit plus petit que l'autre, il faut employer l'inclusion stricte ⊊ et vérifier qu'au moins un élément supplémentaire existe.

L'ensemble vide ne fournit aucun contre-exemple. Comme il ne contient aucun élément qui pourrait manquer, l'ensemble vide est inclus dans tout ensemble, y compris lui-même. Cette inclusion n'est stricte que lorsque l'autre ensemble n'est pas vide.

Le nombre d'éléments ne suffit pas. Les ensembles {1, 3} et {1, 2} possèdent chacun deux éléments, mais aucun n'est inclus dans l'autre. Il faut rechercher un élément manquant, pas seulement comparer les tailles.

Le sens ne s'inverse pas. De A ⊆ B, on ne peut pas conclure B ⊆ A. Dans l'exemple conducteur, l'élément 2 réfute précisément B ⊆ A ; les deux sens réunis entraîneraient au contraire A = B.

L'Ensemble vide éclaire le cas où l'inclusion est vraie sans qu'aucun élément soit à vérifier.

L'Ensemble des parties montre comment toutes les sous-collections d'un ensemble s'organisent par inclusion.

La relation d'ordre replace réflexivité, antisymétrie et transitivité dans leur cadre général.

Le treillis - algèbre - prolonge l'étude de l'ensemble des parties en reliant intersection, réunion et bornes pour l'inclusion.