AlgèbreObjet mathématique · Glossaire

Sur-ensemble

Un sur-ensemble (ou surensemble) d'un ensemble A est tout ensemble B tel que A soit un sous-ensemble de B. Autrement dit, B est un sur-ensemble de A si tout élément de A appartient également à B. La relation 'B est un sur-ensemble de A' est la relation duale de 'A est un sous-ensemble de B' et s'écrit B contient A ou A est inclus dans B. La notion de sur-ensemble est fondamentale en théorie des ensembles et intervient dans la définition des treillis d'ensembles et les raisonnements par majorations.

Tous les éléments de A sont dans B ; les éléments 1, 3 et 5 montrent que B est ici un sur-ensemble strict.

Sommaire

Ce que vous allez apprendre

Reconnaître quel ensemble est le sur-ensemble dans une inclusion.
Vérifier l'inclusion en testant les éléments de l'ensemble contenu.
Distinguer sur-ensemble, sous-ensemble, appartenance et sur-ensemble strict.
Identifier les cas de l'égalité et de l'ensemble vide.

En clair

Prenons les nombres 2 et 4, puis plaçons-les dans une boîte qui contient aussi 1, 3 et 5. La petite collection {2, 4} reste entière dans la grande {1, 2, 3, 4, 5} : aucun de ses éléments ne manque. La grande collection est donc un sur-ensemble de la petite. Elle peut ajouter des éléments, mais elle ne peut en retirer aucun.

Définition

Soient un ensemble A et un ensemble B. L'ensemble B est un sur-ensemble de A lorsque chaque élément de A appartient aussi à B. La condition s'écrit

A \subseteq B

, ce qui se lit « A est inclus dans B ». La même relation, lue depuis B, s'écrit

B \supseteq A

, soit « B contient A ».

Cette relation ne demande pas que B possède des éléments supplémentaires. Un ensemble est donc toujours un sur-ensemble de lui-même. Lorsque B contient A et possède au moins un élément qui n'appartient pas à A, on parle de sur-ensemble strict ; il faut alors annoncer explicitement cette restriction.

Dire que B est un sur-ensemble de A est exactement le point de vue dual de « A est un sous-ensemble de B ». Dans une famille d'ensembles ordonnée par inclusion, les sur-ensembles jouent le rôle de majorants : ils se placent au-dessus des ensembles qu'ils contiennent.

De quoi c'est fait

Une relation de sur-ensemble mobilise quatre données. L'ensemble contenu, noté A, fournit les éléments à retrouver. L'ensemble contenant, noté B, est le candidat à vérifier. Les éléments de A donnent la liste des appartenances exigées dans B. Enfin, la relation d'inclusion relie les deux ensembles dans le bon sens.

Le verdict dépend de toutes les appartenances : un seul élément de A absent de B suffit à l'invalider. En revanche, les éléments de B qui ne sont pas dans A ne gênent pas l'inclusion ; ils déterminent seulement si le sur-ensemble est strict. Ces données suffisent à vérifier la relation et à situer A et B dans un ordre par inclusion.

Un exemple, pas à pas

On compare l'ensemble A = {2, 4} à l'ensemble B = {1, 2, 3, 4, 5}. Les données sont les deux éléments de A et les cinq éléments de B. La représentation associée montre A entièrement contenu dans B, tout en laissant 1, 3 et 5 hors de A.

1. On cherche 2, premier élément de A, dans B. Il y figure.

2. On cherche 4, second élément de A, dans B. Il y figure également.

3. Tous les éléments de A ayant été retrouvés dans B, on conclut que

A \subseteq B

. Autrement dit, B est un sur-ensemble de A.

4. Les éléments 1, 3 et 5 appartiennent à B mais pas à A. B est donc ici un sur-ensemble strict de A.

Le contrôle se refait en parcourant A, et non B : il suffit de vérifier 2 puis 4. Chercher si tous les éléments de B sont dans A testerait la relation inverse, qui est fausse dans cet exemple.

En pratique

Pour vérifier une inclusion, on parcourt les éléments de l'ensemble censé être contenu. Si chacun appartient au candidat B, B convient comme sur-ensemble. Si l'on veut prouver une égalité, cette seule vérification ne suffit pas : il faut aussi établir l'inclusion inverse.

Dans un raisonnement par majoration, on peut remplacer une famille d'objets par un ensemble plus large qui les contient tous. Ce choix est utile lorsque la propriété étudiée reste vraie en agrandissant l'ensemble ; sinon, il faut conserver l'ensemble exact.

Dans un ensemble de parties ordonné par inclusion, chercher un majorant commun revient à chercher un ensemble qui contient chacun des ensembles considérés. L'union fournit alors un candidat naturel, tandis que l'intersection répond au problème dual des minorants.

À ne pas confondre

Sous-ensemble. Les deux expressions décrivent la même inclusion depuis des côtés opposés. Avec A = {2, 4} et B = {1, 2, 3, 4, 5}, A est le sous-ensemble et B le sur-ensemble ; inverser les noms inverse le verdict.

Élément d'un ensemble. L'appartenance relie un objet à un ensemble, tandis que l'inclusion relie deux ensembles. Le nombre 2 est un élément de B ; l'ensemble {2, 4} est un sous-ensemble de B. Le type des deux objets permet de trancher.

Sur-ensemble strict. Un sur-ensemble ordinaire peut être égal à l'ensemble contenu. Un sur-ensemble strict doit avoir au moins un élément supplémentaire. Ainsi, A est un sur-ensemble de A, mais pas un sur-ensemble strict de A.

Limites et pièges

L'égalité n'est pas exclue. Le symptôme du piège est l'exigence d'un élément supplémentaire dans B alors que le mot « strict » n'apparaît pas. Il faut accepter B = A comme cas limite, ou préciser « sur-ensemble strict ».

L'ensemble vide ne fournit aucun élément à tester. Tout ensemble est donc un sur-ensemble de l'ensemble vide. Chercher un témoin d'appartenance est ici impossible et inutile ; il faut constater que la condition « chaque élément de l'ensemble vide appartient à B » n'a aucun contre-exemple.

Le sens de lecture compte. Écrire que B contient A ne signifie pas que A contient B. Avec A = {2, 4} et B = {1, 2, 3, 4, 5}, le test inverse échoue dès l'élément 1. Il faut toujours repartir de l'ensemble dont tous les éléments doivent être retrouvés.

Il n'existe pas de plus grand sur-ensemble sans cadre fixé. On peut toujours ajouter un nouvel objet à B et former un ensemble plus grand. Si un ensemble universel ou une famille de parties est imposé, il faut annoncer ce cadre avant de parler d'un plus grand élément.