Les ensembles de Sidon

Interview

Dans quel domaine de recherche votre thèse s’inscrit-elle ?

Ma thèse, intitulée « Ensembles de petite somme et ensembles de Sidon, étude de deux extrêmes », s’inscrit dans le domaine de la théorie des nombres et plus précisément de la combinatoire additive. Je l’ai effectuée sous la direction d’Alain Plagne (École polytechnique) et d’Anne de Roton (Université de Lorraine). Je suis actuellement attaché temporaire d’enseignement et de recherche à l’École normale supérieure Paris-Saclay.

Pourquoi avez-vous choisi ce sujet ?

J’ai choisi ce sujet car il est très concret et demande pourtant beaucoup d’imagination. En effet, les problèmes de combinatoire additive s’énoncent très simplement et ne requièrent aucune théorie très poussée afin d’être formulés. En revanche, ils sont souvent très robustes et certains n’ont pas vu d’avancée depuis plusieurs décennies. Il faut alors trouver des idées nouvelles et astucieuses, faisant parfois appel à des théories très abstraites et sans lien direct apparent avec la question initiale. C’est ce qui me plaît.

Comment cette thèse s’insère-t-elle dans vos projets ?

Tout d’abord, mes trois années de doctorat ont été merveilleuses, donc la thèse en elle-même était une super expérience. De plus, je compte devenir enseignant chercheur, ce qui n’est pas envisageable sans un doctorat. Enfin, soutenir ma thèse m’a notamment permis d’exercer en tant qu’attaché temporaire d’enseignement et de recherche depuis trois ans, et donc également de continuer mes recherches.

En mathématiques, un ensemble de Sidon est un ensemble dont tous les écarts entre deux éléments sont différents. Cela signifie que l’on ne peut pas trouver quatre éléments distincts a, b, c et d, tels que a – c = d – b, ou encore a + b = c + d.

C’est donc également un ensemble dont toutes les sommes de deux éléments sont différentes. Ce sont des ensembles extrêmement naturels et le premier à s’y être intéressé dans la littérature est, en 1932, le mathématicien hongrois Simon Sidon (1892‒1941), à qui on doit leur nom. Ce dernier travaille alors sur la théorie des séries de Fourier ; il introduit plusieurs questions sur les ensembles de Sidon. Notamment la plus célèbre : quelle est la taille maximale d’un ensemble de Sidon dans les n premiers entiers naturels ?

Des résultats asymptotiques

Combien peut-on choisir, au maximum, de nombres inférieurs à 100 tels que leur ensemble forme un ensemble de Sidon ? Voilà le type de questions que l’on peut se poser dans ce domaine.