ArithmétiqueThéorème · Glossaire
Douanes (théorème du passage des)
Le théorème du passage des douanes exprime un fait topologique : si A est une partie d'un espace topologique, tout chemin continu allant de l'intérieur de A à son extérieur rencontre sa frontière. Plus généralement, toute partie connexe qui rencontre ces deux régions rencontre aussi la frontière de A. L'image est celle d'un voyageur qui ne peut quitter un territoire sans franchir sa douane.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Comprendre l'image du passage obligatoire par une frontière.
- Maîtriser les hypothèses de continuité et de connexité.
- Refaire la vérification sur un disque fermé.
- Distinguer frontière topologique et contour visible.
En clair
Imaginez un territoire A dessiné sur une carte. Un voyageur part d'un point situé franchement à l'intérieur et veut atteindre un point situé franchement à l'extérieur. Même si son itinéraire tourne, il doit passer par la limite du territoire.
En topologie, cette limite s'appelle la frontière de A. Le théorème affirme donc qu'un trajet continu ne peut pas passer de l'intérieur à l'extérieur sans rencontrer cette frontière. La douane est une image : elle représente le franchissement obligatoire d'une limite.
Définition
Soit A une partie d'un espace topologique X. L'intérieur de A, noté Int(A), est l'ensemble de ses points qui possèdent un voisinage entièrement contenu dans A. Le complémentaire de A est noté X ∖ A, et l'extérieur de A est son intérieur, noté Ext(A) = Int(X ∖ A). La frontière de A, notée Fr(A), est l'ensemble des points dont tout voisinage rencontre à la fois A et X ∖ A.
Le théorème dit qu'un chemin continu qui commence dans Int(A) et se termine dans l'extérieur de A contient au moins un point de Fr(A). La version plus générale remplace le chemin par toute partie connexe de X qui rencontre Int(A) et l'extérieur de A.
Le principe
Soit γ : [0, 1] → X un chemin continu, avec γ(0) dans l'intérieur de A et γ(1) dans l'extérieur de A. Alors il existe un réel t appartenant à [0, 1] tel que γ(t) appartient à la frontière de A.
Plus généralement, si C est une partie connexe de X, si C rencontre l'intérieur de A et si C rencontre l'extérieur de A, alors C rencontre la frontière de A.
Quand l'utiliser
L'espace X doit être muni d'une topologie, car les notions d'intérieur, d'extérieur, de frontière et de continuité en dépendent. La partie A peut être ouverte, fermée ou ni l'une ni l'autre.
Pour la première formulation, le trajet est un chemin continu défini sur l'intervalle [0, 1], et ses deux extrémités doivent être situées respectivement dans l'intérieur et dans l'extérieur de A. Pour la seconde, le chemin est remplacé par une partie connexe C qui rencontre ces deux régions.
Un point déjà sur la frontière ne fournit pas un passage de l'intérieur vers l'extérieur : il satisfait seulement la conclusion. La continuité et la connexité sont les hypothèses qui empêchent le trajet de sauter la frontière.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan euclidien, considérons le disque fermé A de centre O et de rayon 1. Sa frontière est le cercle de rayon 1. Prenons le chemin radial γ(t) = (2t − 0,5, 0), défini pour 0 ≤ t ≤ 1.
1. Au départ, γ(0) = (−0,5, 0) appartient à l'intérieur du disque, car sa distance à O vaut 0,5. À l'arrivée, γ(1) = (1,5, 0) appartient à l'extérieur, car sa distance à O vaut 1,5. Les extrémités sont donc bien dans les deux régions requises.
2. La distance de γ(t) à O vaut |2t − 0,5|. Le chemin rencontre la frontière lorsque cette distance vaut 1. Sur la portion qui va vers la droite, l'équation 2t − 0,5 = 1 donne t = 0,75.
3. On obtient γ(0,75) = (1, 0), qui appartient au cercle frontière. Le calcul confirme exactement ce que l'image du trajet suggère : le chemin continu ne peut atteindre l'extérieur sans rencontrer la frontière.
En pratique
Pour utiliser le théorème, commencez par identifier la partie A et sa frontière, puis repérez la région intérieure et la région extérieure. Vérifiez ensuite que le trajet est continu, ou que la partie considérée est connexe.
Si les deux extrémités sont de part et d'autre de la frontière, il est inutile de connaître la forme exacte du trajet : son simple passage de l'intérieur à l'extérieur garantit une rencontre avec la frontière. Cette observation est utile pour prouver l'existence d'un point sans le calculer explicitement.
À ne pas confondre
La frontière de A n'est pas nécessairement le bord visible d'un dessin. Elle est définie par les voisinages dans l'espace ambiant : changer cet espace peut changer l'intérieur et la frontière.
La conclusion ne dit pas que le chemin suit la frontière, ni qu'il la rencontre une seule fois. Elle dit seulement qu'au moins un de ses points appartient à cette frontière. La formulation connexe est également plus large que celle qui ne considère qu'un chemin.
Limites et pièges
Si le trajet est discontinu, il peut sauter directement de l'intérieur à l'extérieur. L'hypothèse de continuité n'est donc pas décorative. De même, une partie non connexe peut contenir un morceau intérieur et un morceau extérieur sans contenir de point frontière entre ces deux morceaux.
Le mot extérieur signifie l'intérieur du complémentaire dans X. Une partie peut avoir une frontière non vide même si elle n'est pas bornée, et une frontière peut être plus grande que le contour intuitif d'une figure.
Enfin, une extrémité placée sur la frontière ne permet pas de conclure qu'un passage intérieur-extérieur a eu lieu. Il faut bien disposer d'un point intérieur et d'un point extérieur, ou des deux rencontres exigées dans la version connexe.
Pour aller plus loin
La relation Fr(A) = adh(A) ∩ adh(X ∖ A) exprime la frontière à l'aide des adhérences : un point frontière est approchable à la fois depuis A et depuis son complémentaire. Cette écriture relie le théorème aux notions d'ouvert, de fermé et d'adhérence.
Dans un espace métrique, le résultat se lit souvent avec des boules ouvertes. Dans les espaces connexes par arcs, la version par chemins est particulièrement naturelle ; dans un espace seulement connexe, la formulation par partie connexe conserve la portée générale du théorème.
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