théorème de Jordan

Tracez une boucle fermée sur une feuille sans lever le crayon et sans repasser par un point. La boucle dessine une frontière : une zone reste enfermée, tandis que l’autre s’étend autour d’elle sans limite. Pour passer d’un point de la première zone à un point de la seconde, il faut franchir le trait.

Le théorème de Jordan garantit que cette intuition reste vraie même lorsque la boucle est très irrégulière. Tant qu’elle est continue, fermée et sans croisement, elle sépare toujours le plan en exactement deux régions.

Une courbe de Jordan est une courbe du plan obtenue en déformant continûment un cercle, sans identifier deux de ses points. Elle forme donc une boucle continue et fermée, sans point double. Dans un paramétrage par un intervalle, le point initial et le point final coïncident pour fermer la boucle ; aucun autre couple de paramètres ne représente le même point.

Notons C l’ensemble des points de cette courbe. Le théorème de Jordan affirme que le plan privé de C possède exactement deux composantes connexes, c’est-à-dire deux régions dont chacune reste d’un seul tenant. Elles sont ouvertes, non vides et disjointes. L’une est bornée : c’est l’intérieur. L’autre est non bornée : c’est l’extérieur. La courbe C constitue leur frontière commune.

Le résultat ne demande ni convexité, ni dérivabilité, ni contour polygonal. Il vaut notamment pour une frontière aussi irrégulière que le flocon de von Koch. Cette généralité explique pourquoi une affirmation visuellement intuitive exige une démonstration délicate.

Si C est une courbe plane continue, fermée et sans point double, alors son complémentaire dans le plan est la réunion disjointe de deux ouverts connexes non vides :

La région U_int est bornée et constitue l’intérieur. La région U_ext est non bornée et constitue l’extérieur. Il n’existe aucune troisième composante du plan privé de C.

Le domaine est le plan. La courbe doit être continue, revenir à son point de départ et ne jamais se recouper ailleurs qu’en ce point de fermeture. Ces trois conditions sont vérifiables indépendamment. Aucune régularité du tracé, comme l’existence d’une tangente en chaque point, n’est requise.

Une courbe en forme de huit est fermée et continue, mais son croisement est un point double : le théorème de Jordan ne s’y applique pas, et le complémentaire peut comporter plus de deux régions. Pour analyser un tel tracé, il faut étudier séparément les boucles délimitées par ses arcs. Une courbe ouverte échoue aussi à l’hypothèse de fermeture et ne possède pas d’intérieur au sens du théorème.

Considérons la courbe polygonale C représentée par une boucle concave sans croisement. Le point rouge P est placé dans la zone enfermée ; le point noir Q est placé au-delà de la boucle. Le segment reliant P à Q permet de contrôler concrètement la séparation annoncée.

1. On suit C sur un tour complet. Le tracé revient à son départ, reste continu et ne rencontre aucun de ses autres points : C est bien une courbe de Jordan.

2. La zone contenant P est enfermée par C, donc bornée. La zone contenant Q se prolonge au contraire aussi loin que l’on veut : elle est non bornée.

3. En allant de P vers Q le long du segment, on rencontre C une fois. Un autre chemin continu pourrait la rencontrer plusieurs fois, mais il ne pourrait jamais relier P à Q sans la toucher.

Le contrôle consiste à choisir un chemin quelconque restant entièrement hors de C : il ne peut pas passer de la région de P à celle de Q. Les deux points appartiennent donc aux deux composantes distinctes du complémentaire.

Pour décider si deux points sont du même côté d’un contour simple, on cherche un chemin qui les relie sans toucher le contour. S’il existe, les points sont dans la même région ; sinon, l’un peut être intérieur et l’autre extérieur.

Dans un dessin polygonal, un rayon partant du point étudié vers une zone très éloignée donne un test pratique : un nombre impair de franchissements indique l’intérieur, un nombre pair l’extérieur, à condition d’éviter les sommets et les passages ambigus.

Lorsque le contour se croise, ce test ne relève plus directement du théorème de Jordan. Il faut alors décomposer le tracé en boucles simples ou employer une règle adaptée aux courbes auto-intersectées.

Une courbe fermée n’est pas nécessairement une courbe de Jordan. Un huit revient à son point de départ, mais possède un croisement ; ce point double suffit à faire échouer l’hypothèse de simplicité.

La généralisation de Brouwer porte sur une hypersurface homéomorphe à une sphère dans un espace euclidien de dimension n. Le théorème de Jordan présenté ici concerne une courbe simple fermée dans le plan ; le type d’objet et la dimension permettent de les distinguer.

Le point de fermeture n’est pas un point double interdit. Dans un paramétrage par un intervalle, le premier et le dernier paramètre représentent nécessairement le même point. Tout autre retour sur un point crée en revanche une auto-intersection et sort du cadre.

Une forme très irrégulière reste admissible. Le bord du flocon de von Koch n’a pas l’allure lisse d’un cercle, mais cette difficulté visuelle ne crée ni passage ni troisième région. Il faut vérifier continuité, fermeture et absence de point double, plutôt que se fier à la régularité apparente.

Un dessin ne remplace pas une preuve. L’intérieur et l’extérieur paraissent immédiats sur un polygone, mais l’intuition ne couvre pas toutes les courbes continues. La démonstration initiale de Jordan est considérée comme incomplète ; la première démonstration rigoureuse complète est attribuée à Oswald Veblen en 1905.

La courbe elle-même n’appartient à aucune des deux régions. Le théorème décrit le plan privé de la courbe. Pour classer un point situé sur C, il faut le reconnaître comme point frontière, et non le forcer dans l’intérieur ou l’extérieur.

La fiche connexité - topologie - précise ce que signifie rester d’un seul tenant, propriété des deux régions séparées par une courbe de Jordan.

La fiche flocon de von Koch prolonge l’exemple d’un contour très irrégulier auquel la séparation intérieur-extérieur continue de s’appliquer.

La fiche Homéomorphisme éclaire la déformation continue utilisée pour reconnaître un cercle topologique et formuler la généralisation de Brouwer.

Le théorème des trois maisons fournit une application notable de cette séparation du plan. La généralisation de Brouwer étend, elle, l’idée aux hypersurfaces homéomorphes à une sphère dans l’espace euclidien de dimension n.