GéométrieNotion · Glossaire
Base de voisinages
Une base de voisinages d'un point x dans un espace topologique est une famille de voisinages de x telle que tout voisinage de x contient un élément de cette famille. Elle permet ainsi de ramener à cette famille les conditions de voisinage qui sont stables par raffinement. Un espace topologique est dit à base dénombrable de voisinages en x (ou premier dénombrable en x) si x possède une base de voisinages dénombrable. Cette propriété est essentielle pour le caractère séquentiel des espaces.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître le critère d'inclusion qui définit une base de voisinages.
- Vérifier sur la droite réelle que les intervalles de rayon 1/n forment une base locale.
- Distinguer premier et second axiomes de dénombrabilité.
- Comprendre sous quelles précautions les suites rendent compte des propriétés locales.
En clair
Sur une droite, imaginons des intervalles de plus en plus serrés autour de 0 : de −1 à 1, puis de −1/2 à 1/2, et ainsi de suite. Aussi petit soit un voisinage de 0, l'un de ces intervalles finit par tenir entièrement dedans.
Cette collection suffit donc pour examiner ce qui se passe près de 0. Elle est une base de voisinages : au lieu de parcourir tous les voisinages possibles, on travaille avec une famille choisie qui se resserre autour du point.
Définition
Soit un espace topologique X et un point x de X. Une base de voisinages de x est une famille dont chaque élément est un voisinage de x et qui est cofinale pour l'inclusion parmi ces voisinages. Autrement dit, pour tout voisinage V de x, il existe un élément B de la famille tel que . Les éléments de la base ne sont pas nécessairement ouverts, sauf si cette condition est ajoutée à la convention choisie.
La base est locale : elle est attachée au point x. L'espace est dit premier dénombrable en x lorsque x possède une telle famille finie ou dénombrable. Il est premier dénombrable lorsque cette propriété vaut en chacun de ses points. Tout espace métrique est premier dénombrable : les boules centrées en x et de rayons 1, 1/2, 1/3, … forment une base locale dénombrable.
Une base de voisinages réduit ainsi les vérifications locales à une famille contrôlée. Lorsqu'elle est dénombrable, elle autorise des arguments indexés par les entiers et relie notamment adhérence, continuité et convergence de suites sous les hypothèses précisées dans chaque énoncé.
Un exemple, pas à pas
Considérons la droite réelle avec sa topologie usuelle et le point 0. Pour tout entier n au moins égal à 1, notons Bn l'intervalle ouvert allant de −1/n à 1/n. Prenons comme voisinage test V l'intervalle ouvert allant de −0,26 à 0,40.
1. Le voisinage V contient l'intervalle ouvert allant de −0,25 à 0,25, centré en 0.
2. Il faut choisir n de sorte que 1/n soit inférieur ou égal à 0,25.
3. Avec n = 5, on obtient 1/5 = 0,20 et B5 est l'intervalle ouvert allant de −0,20 à 0,20.
4. Les deux extrémités de B5 restent strictement entre −0,26 et 0,40 ; ainsi B5 est inclus dans V.
2. Il faut choisir n de sorte que 1/n soit inférieur ou égal à 0,25.
3. Avec n = 5, on obtient 1/5 = 0,20 et B5 est l'intervalle ouvert allant de −0,20 à 0,20.
4. Les deux extrémités de B5 restent strictement entre −0,26 et 0,40 ; ainsi B5 est inclus dans V.
Le même raisonnement fonctionne pour n'importe quel voisinage de 0 : celui-ci contient un intervalle ouvert centré en 0 de rayon ε strictement positif, puis un entier n peut être choisi avec 1/n < ε. La famille des Bn est donc bien une base de voisinages de 0.
En pratique
Pour prouver qu'une fonction f est continue en un point x, on peut vérifier que, pour tout voisinage W de f(x), il existe un élément B d'une base locale en x tel que f(B) ⊆ W. Dans un espace métrique, les boules de rayon 1/n remplacent avantageusement la famille de tous les voisinages.
Pour vérifier qu'une suite converge vers x, il suffit de contrôler qu'elle finit par rester dans chaque élément d'une base de voisinages de x. Une base dénombrable ordonne ces contrôles en une liste, ce qui rend possibles les constructions terme par terme.
Pour montrer qu'un point x appartient à l'adhérence d'un ensemble, on vérifie que chaque élément d'une base locale en x rencontre cet ensemble. Si la base est dénombrable, choisir successivement un point dans chaque voisinage d'une base décroissante permet de construire une suite convergeant vers x.
À ne pas confondre
Une base de voisinages en x est locale, tandis qu'une base de la topologie engendre les ouverts de tout l'espace. Une famille d'intervalles centrés en 0 peut servir au premier rôle sans engendrer à elle seule tous les ouverts de la droite.
Un voisinage de x n'est pas forcément un ouvert : il suffit qu'il contienne un ouvert qui contient x. Sur la droite réelle, l'intervalle fermé allant de −1 à 1 est un voisinage de 0, mais il n'est pas ouvert.
Le premier axiome de dénombrabilité demande une base locale dénombrable en chaque point. Le second axiome de dénombrabilité demande une seule base dénombrable pour toute la topologie. Le premier n'entraîne pas le second en général.
Limites et pièges
Une famille de voisinages n'est pas automatiquement une base. Le symptôme est l'existence d'un voisinage V qui ne contient aucun membre de la famille. Il faut alors ajouter des voisinages plus fins ou vérifier explicitement la propriété de cofinalité.
Une base locale n'a pas besoin d'être emboîtée. Pour obtenir une base décroissante à partir d'une base dénombrable B1, B2, …, on peut remplacer ses termes par leurs intersections finies successives. Cette opération conserve le rôle de base.
Les suites ne détectent pas toujours toute la topologie. Sans base locale dénombrable, un point peut appartenir à l'adhérence d'un ensemble sans être la limite d'une suite de points de cet ensemble. Il faut alors revenir aux voisinages, ou employer des filets plus généraux que les suites.
Dans un espace métrique, les rayons 1/n fournissent un choix commode, mais ils ne sont pas canoniques. Toute suite de rayons strictement positifs qui tend vers 0 donne aussi une base locale. Plus généralement, les boules obtenues doivent être cofinales parmi les voisinages de x : tout voisinage de x doit contenir l'une d'elles.
Pour aller plus loin
La notion de voisinage précise l'objet dont une base locale sélectionne une famille suffisante. Elle permet notamment de distinguer voisinage et ouvert avant d'aborder les axiomes de dénombrabilité.
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