Suite exhaustive de compacts

Sur la droite réelle, imaginez des fenêtres qui s'élargissent : [−1, 1], puis [−2, 2], puis [−3, 3], et ainsi de suite. Chacune est compacte et contient la précédente. Tout morceau compact de la droite finit par tenir dans l'une de ces fenêtres.

Une suite exhaustive de compacts transforme ainsi une question posée sur tout un espace en une succession de questions sur des zones compactes maîtrisables. Elle doit absorber chaque compact entier, pas seulement atteindre chaque point un jour ou l'autre.

Soit X un espace topologique. Pour chaque entier n ≥ 1, notons K_n un compact de X. La suite (K_n) est exhaustive lorsque les compacts sont croissants et cofinaux parmi les compacts de X : Le mot « cofinal » exprime que chaque compact C est finalement absorbé par un terme de la suite.

Cette condition entraîne que X est la réunion des K_n, puisque tout singleton {x} est compact. Elle entraîne donc la σ-compacité. La réciproque n'est toutefois pas vraie pour un espace topologique arbitraire : être une réunion dénombrable de compacts ne garantit pas que ces compacts dominent tous les autres. L'existence d'une telle suite est souvent appelée hémicompacité.

Sous des hypothèses usuelles, la nuance disparaît. Un espace localement compact, séparé et σ-compact admet une suite exhaustive de compacts, que l'on peut choisir avec K_n contenu dans l'intérieur de K_n+1. Dans ℝ^d, les cubes [−n, n]^d conviennent. Sur une variété riemannienne complète, des boules fermées dont les rayons tendent vers l'infini fournissent l'exhaustion compacte attendue.

La structure repose sur quatre éléments. L'espace topologique X fixe le cadre. L'indice entier n ordonne une infinité dénombrable d'étapes. Chaque terme K_n est un sous-ensemble compact de X. Enfin, deux relations organisent l'ensemble : l'inclusion K_n ⊆ K_n+1 assure la croissance, et la propriété d'absorption place tout compact C de X dans au moins un K_n.

La compacité de chaque terme ne suffit pas sans croissance ; la croissance ne suffit pas sans absorption de tous les compacts. Le choix d'une forme géométrique, d'un centre ou d'une échelle n'appartient pas à la définition. Ces choix servent seulement à construire une suite commode. Dans ℝ, les intervalles centrés rendent les deux relations immédiatement vérifiables.

Prenons l'espace X = ℝ. Pour chaque entier n ≥ 1, posons K_n = [−n, n]. Considérons aussi le compact C = [−2,4 ; 1,7]. Les données utiles sont donc les deux bornes de C et les rayons entiers des intervalles K_n.

1. Chaque intervalle K_n est fermé et borné dans ℝ ; il est donc compact.

2. Comme −(n + 1) ≤ −n et n ≤ n + 1, chaque K_n est inclus dans K_n+1. La figure matérialise cette croissance avec les trois premiers intervalles.

3. Tout compact de ℝ est borné. S'il est contenu dans [−M, M] pour un réel M ≥ 0, un entier n ≥ M donne son inclusion dans K_n. La suite absorbe donc tous les compacts de ℝ.

4. Pour le compact annoncé, C n'est pas contenu dans K₂ = [−2, 2], car −2,4 < −2. En revanche, −3 ≤ −2,4 et 1,7 ≤ 3, donc C ⊆ K₃. Le contrôle consiste à comparer séparément les deux bornes.

Pour localiser une démonstration sur ℝ^d, on traite d'abord le problème sur [−n, n]^d, puis on fait croître n. Si le phénomène dépend d'informations situées à l'infini, cette localisation seule ne suffit pas et il faut ajouter un contrôle uniforme lorsque n augmente.

Pour étudier une suite de fonctions, on peut vérifier la convergence uniforme sur chaque K_n. Comme tout compact C finit dans un K_n, le même contrôle vaut alors sur C. Si une convergence uniforme sur tout l'espace est exigée, il faut la vérifier directement : elle est plus forte.

Dans les arguments de familles normales, notamment autour du théorème de Montel pour les fonctions holomorphes, l'exhaustion permet d'extraire successivement sur K₁, K₂, puis K₃. Un procédé diagonal sert ensuite à conserver une même sous-suite sur tous les compacts.

Suite exhaustive et simple recouvrement croissant. Une réunion égale à X contrôle les points séparément ; une exhaustion compacte contrôle chaque compact d'un seul coup. Dans ℝ, les intervalles ouverts ]−n, n[ forment un recouvrement croissant, mais leurs termes ne sont pas compacts. Tester uniquement la réunion ne prouve donc ni la compacité des termes ni la cofinalité parmi les compacts.

Hémicompacité et σ-compacité. La première exige une suite croissante qui absorbe tout compact ; la seconde exige seulement une réunion dénombrable de compacts égale à l'espace. Les deux coïncident dans de nombreux cadres localement compacts, mais pas dans tous les espaces topologiques.

La σ-compacité seule ne suffit pas. L'espace ℚ, muni de la topologie héritée de ℝ, est une réunion dénombrable de singletons compacts, donc il est σ-compact. Il n'admet pourtant aucune suite cofinale de compacts. Le symptôme est l'impossibilité d'absorber simultanément toutes les suites rationnelles convergentes ; il faut vérifier l'hémicompacité, ou ajouter des hypothèses comme la locale compacité et la séparation.

Une union exhaustive peut rester insuffisante. Même si K_n ⊆ K_n+1 et si leur réunion vaut X, un compact C peut rencontrer indéfiniment de nouveaux termes sans être contenu dans aucun. Il faut tester la propriété « C ⊆ K_n pour un certain n », pas seulement l'égalité de la réunion.

L'indice n n'est pas un seuil universel. Pour C = [−2,4 ; 1,7], le premier terme de l'exemple qui convient est K₃. Un autre compact peut exiger un indice bien plus grand. L'exhaustion affirme l'existence d'un indice pour chaque compact, sans fournir une même borne pour tous.

convergence uniforme — Distinguer le contrôle uniforme sur tout l'espace du contrôle obtenu séparément sur chaque compact de l'exhaustion.

fonction holomorphe — Situer le cadre fonctionnel où les exhaustions compactes interviennent dans les arguments de familles normales et de Montel.