AnalyseNotion · Glossaire
Séparé
Un espace topologique est dit séparé, ou espace de Hausdorff, si deux points distincts quelconques peuvent toujours être séparés par deux ouverts disjoints. Cette propriété garantit notamment l'unicité des limites de suites convergentes. La plupart des espaces rencontrés en analyse (espaces métriques, espaces vectoriels normés) sont séparés.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le critère des deux ouverts disjoints.
- Vérifier la séparation de deux points sur la droite réelle.
- Relier la propriété de Hausdorff à l'unicité des limites.
- Distinguer espace séparé, espace connexe et espace discret.
- Repérer pourquoi une identification peut détruire la séparation.
En clair
Sur une droite, plaçons un point en 2 et un autre en 5. On peut entourer 2 par l'intervalle ouvert (1, 3) et 5 par (4, 6) : ces deux zones ne se touchent pas.
Un espace est séparé lorsqu'une telle mise à distance est possible pour chaque paire de points distincts. Les zones utilisées sont des ouverts de la topologie. Elles permettent donc de distinguer les points à l'aide de leur environnement, même si aucune distance n'est définie.
Définition
Soit un ensemble X muni d'une topologie, c'est-à-dire d'une famille d'ouverts. L'espace X est séparé, ou de Hausdorff, si toute paire de points distincts x et y possède deux ouverts disjoints : l'un contient x et l'autre contient y. Cette propriété est aussi appelée axiome de séparation T2.
En notant U et V ces ouverts, le critère complet s'écrit :
Les ouverts peuvent dépendre de la paire choisie ; il n'est demandé ni une séparation uniforme ni une distance entre les points.
Tout espace métrique est séparé. Si la distance entre x et y vaut d(x, y), les boules ouvertes centrées en x et y, de rayon d(x, y)/3, sont disjointes. Les espaces vectoriels normés sont donc séparés eux aussi, puisque leur norme définit une distance. Dans un espace séparé, une suite convergente ne peut pas avoir deux limites distinctes.
Un exemple, pas à pas
Considérons la droite réelle avec sa topologie usuelle. Les données sont les points x = 2 et y = 5, ainsi que les ouverts U = (1, 3) et V = (4, 6).
1. Les deux points sont distincts, car 2 ≠ 5.
2. Le point 2 appartient à U, puisque 1 < 2 < 3. Le point 5 appartient à V, puisque 4 < 5 < 6.
3. Tout nombre de U est strictement inférieur à 3, tandis que tout nombre de V est strictement supérieur à 4. Aucun réel ne peut donc appartenir aux deux intervalles.
4. Ainsi, U ∩ V = ∅ : cette paire d'ouverts sépare bien 2 et 5. Le contrôle est refaisable en vérifiant les quatre bornes 1, 3, 4 et 6. Pour deux autres réels distincts, des intervalles ouverts assez petits fournissent le même type de séparation.
En pratique
Dans un espace muni d'une distance, on prouve la séparation en entourant deux points distincts par des boules dont les rayons sont inférieurs à la moitié de leur distance. Le rayon égal au tiers de cette distance donne immédiatement deux boules disjointes.
Pour étudier la limite d'une suite, savoir que l'espace est séparé autorise à parler de la limite lorsqu'elle existe. Sans cette hypothèse, il faut vérifier directement qu'aucun second point ne satisfait la définition de la convergence.
Lorsqu'une topologie est construite par identification, le réflexe utile consiste à tester deux classes distinctes. Si leurs ouverts se recouvrent toujours, l'espace obtenu n'est pas séparé ; il faut alors conserver cette information au lieu d'appliquer les automatismes des espaces métriques.
À ne pas confondre
Séparé et connexe. « Séparé » ne signifie pas que l'espace se découpe en deux ouverts. La droite réelle est à la fois connexe et séparée : elle ne se partage pas en deux ouverts non vides disjoints dont l'union est la droite, mais deux de ses points admettent des voisinages ouverts disjoints.
Séparé et discret. Dans un espace discret, chaque singleton est ouvert ; deux points distincts sont donc séparés par leurs singletons. La réciproque est fausse : la droite réelle est séparée, mais ses singletons ne sont pas ouverts.
Séparé et T0. La propriété T0 exige seulement qu'un ouvert distingue l'un des deux points de l'autre. La propriété de Hausdorff exige deux ouverts disjoints, un autour de chaque point ; elle est donc plus forte.
Limites et pièges
Deux origines impossibles à isoler. Prenons deux copies de la droite et identifions tous les points correspondants sauf les deux origines. Les deux origines restent distinctes, mais chacun de leurs voisinages rencontre l'autre près de 0. L'espace ainsi obtenu n'est pas séparé.
Une suite à deux limites. Dans cette droite à deux origines, la suite 1/n converge vers chacune des origines. Ce symptôme prouve que l'espace n'est pas séparé. En revanche, dans un espace topologique arbitraire, l'unicité des limites de toutes les suites ne suffit pas à prouver la propriété de Hausdorff ; il faut revenir aux ouverts.
Des ouverts non uniques. Le critère demande l'existence d'une paire d'ouverts disjoints pour chaque paire de points. Il ne désigne pas de meilleurs ouverts et n'impose pas ceux de l'exemple (1, 3) et (4, 6). Si deux ouverts choisis se coupent, on peut en chercher de plus petits.
Une propriété à revérifier après identification. Les sous-espaces et les produits d'espaces séparés restent séparés, mais un espace quotient peut perdre cette propriété. Le test pertinent porte sur les classes distinctes et leurs voisinages dans la topologie quotient.
Pour aller plus loin
Le glossaire Voisinage précise l'outil local employé pour entourer un point et reformuler la séparation.
La fiche Topologie quotient éclaire les identifications de points et le cadre dans lequel la propriété de Hausdorff doit être revérifiée.
L'article La genèse des espaces métriques replace les espaces métriques, qui sont toujours séparés, dans un développement plus large.
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