Cofinie

Imaginez l’ensemble de tous les entiers. Retirez seulement 2, 5 et 9 : il reste encore tous les autres entiers. La partie obtenue est cofinie, car la liste de ce qui manque est finie.

Dans la topologie cofinie, les ouverts non vides sont précisément de cette forme : ils peuvent omettre quelques éléments, mais pas une infinité. Sur un ensemble infini, deux tels ouverts se rencontrent toujours.

Soit un ensemble X. Une partie U de X est cofinie lorsque son complémentaire dans X, noté X ∖ U, contient un nombre fini d’éléments. La topologie cofinie sur X est la famille suivante :

L’ensemble vide est ajouté explicitement, même si son complémentaire X est infini. Cette famille est bien une topologie : une réunion quelconque de ses ouverts est ouverte, et une intersection finie de ses ouverts est ouverte. Si X est fini, chaque partie de X est cofinie et la topologie obtenue est discrète. Si X est infini, deux ouverts non vides ont toujours une intersection non vide ; l’espace n’est donc pas séparé au sens de Hausdorff. Cette construction fournit sur une droite un modèle simple de la topologie de Zariski employée en géométrie algébrique.

Prenons comme ensemble X l’ensemble ℤ des entiers, puis la partie U formée de tous les entiers sauf 2, 5 et 9. Les données sont donc X = ℤ et la liste finie des trois éléments retirés : 2, 5, 9.

1. Écrivez le complémentaire de U dans X.
2. On obtient X ∖ U = {2, 5, 9}.
3. Comptez les éléments de ce complémentaire : il en contient exactement trois.
4. Concluez que U est cofinie et constitue donc un ouvert de la topologie cofinie sur ℤ.

Une droite graduée rend ce mécanisme visible : tous les entiers appartiennent à U, à l’exception des trois points signalés. Le contrôle se refait en listant ce qui manque ; la liste {2, 5, 9} est finie. Cette vérification ne dépend pas du nombre d’entiers visibles dans la représentation.

Pour reconnaître un ouvert, on examine ce qui reste hors de la partie. Une liste finie d’éléments exclus suffit ; si le complémentaire est infini, la partie n’est pas ouverte, sauf lorsqu’elle est vide.

Pour tester la séparation de deux points sur un ensemble infini, on essaie de choisir deux voisinages ouverts disjoints. Leurs complémentaires seraient finis, donc leur intersection ne peut pas être vide : ce test révèle l’échec de la propriété de Hausdorff.

En géométrie algébrique, ce modèle aide à aborder la topologie de Zariski sur une droite. Lorsque l’ensemble de départ est fini, la topologie discrète est la description équivalente et plus directe, puisque toutes les parties sont alors ouvertes.

Partie finie et partie cofinie. Une partie finie contient un nombre fini d’éléments ; une partie cofinie en laisse un nombre fini à l’extérieur. Dans ℤ, {2, 5, 9} est finie, tandis que ℤ ∖ {2, 5, 9} est cofinie.

Topologie discrète et topologie cofinie. Dans la topologie discrète, toute partie est ouverte. Sur ℤ muni de la topologie cofinie, l’ensemble des entiers pairs n’est pas ouvert, car son complémentaire est infini. Les deux topologies coïncident seulement lorsque l’ensemble de départ est fini.

Ensemble de départ fini. Le caractère non séparé annoncé pour la topologie cofinie exige que X soit infini. Si X est fini, chaque complémentaire est fini : toutes les parties sont ouvertes et la topologie est discrète.

Exception de l’ensemble vide. Quand X est infini, le complémentaire de l’ensemble vide n’est pas fini. L’ensemble vide reste néanmoins ouvert parce qu’il figure séparément dans la définition de la topologie.

Voisinages que l’on croit séparables. Retirer quelques points autour de deux éléments distincts ne produit jamais deux ouverts non vides disjoints lorsque X est infini. Il faut conclure que l’espace n’est pas de Hausdorff, et non chercher une autre paire d’ouverts cofinis.

Portée du nom « topologie de Zariski ». L’appellation renvoie ici au modèle sur une droite. Elle ne signifie pas que toute topologie de Zariski, sur n’importe quel espace algébrique, se réduit automatiquement aux complémentaires finis.

La topologie cofinie invite à étudier les espaces où les ouverts sont très grands. On peut poursuivre en démontrant directement que deux ouverts non vides se rencontrent sur un ensemble infini, puis en observant comment cette contrainte explique l’échec de la séparation de Hausdorff. Le passage à la géométrie algébrique conduit ensuite à examiner ce que la topologie de Zariski conserve de ce modèle sur une droite.