Irréductible (espace topologique)

Prenons un espace formé de deux points, 0 et 1. Supposons que ses seuls fermés soient ∅, {0} et l'espace entier. Même en réunissant deux fermés qui ne valent pas tout l'espace, on n'obtient jamais le point 1. L'espace est donc irréductible.

L'idée n'est pas que l'espace ne possède aucune partie fermée. Elle est qu'aucune paire de fermés plus petits ne suffit à le reconstituer.

Soit un espace topologique noté X. Un fermé propre de X est une partie fermée différente de X. L'espace X est irréductible lorsqu'il n'existe pas deux fermés propres F et G dont la réunion soit X.

Le même critère peut se lire avec les ouverts : deux ouverts non vides de X ont toujours au moins un point commun. En notant U et V ces ouverts, les deux formulations s'écrivent : Cette équivalence vient du passage au complémentaire : le complémentaire d'un fermé est ouvert, et réciproquement.

Selon les ouvrages, la définition exige en plus que X soit non vide. Sans cette condition ajoutée, la définition par les deux fermés rend l'espace vide irréductible par défaut. Cette convention doit donc être vérifiée avant d'utiliser un résultat.

Quatre éléments interviennent dans le test. L'ensemble X fournit les points. La topologie choisit les ouverts et détermine donc leurs complémentaires fermés. Les fermés propres sont les candidats à une décomposition. Enfin, la réunion indique si deux candidats recouvrent X.

Changer la topologie sans changer les points peut modifier le verdict, car la liste des fermés change. Le critère dépend ainsi de X muni de sa topologie, et non de son dessin, de son échelle ou du nom donné aux points. Ces données suffisent soit à rechercher une paire de fermés qui recouvre X, soit à contrôler que deux ouverts non vides se rencontrent toujours.

Considérons l'ensemble X = {0, 1}, muni des ouverts ∅, {1} et X. Les données sont donc les deux points et cette liste complète d'ouverts.

1. Prenons les complémentaires dans X. Les fermés sont X, {0} et ∅.

2. Retirons X de la liste. Les seuls fermés propres possibles sont {0} et ∅.

3. Réunissons deux candidats, quitte à prendre deux fois le même. Leur réunion reste ∅ ou {0} ; elle ne contient jamais 1. Le schéma récapitule cette impossibilité de reconstruire X avec deux fermés propres.

4. Aucun couple ne recouvre X : cet espace est irréductible. Pour contrôler le résultat par les ouverts, observons que le seul ouvert non vide autre que X est {1}. Toute paire d'ouverts non vides contient donc 1 dans son intersection.

Sur un petit espace fini, on peut dresser la liste des fermés propres et essayer toutes leurs paires. Lorsque la liste des ouverts est plus courte, le critère des intersections d'ouverts non vides demande moins de vérifications.

Pour prouver rapidement l'irréductibilité, on peut chercher un point dont l'adhérence est l'espace entier. Tout ouvert non vide contient alors ce point, donc deux tels ouverts se rencontrent. Cette stratégie donne une condition suffisante ; un espace irréductible n'a pas toujours un tel point.

Pour réfuter l'irréductibilité, une seule paire suffit : il faut exhiber deux fermés propres dont la réunion est tout l'espace. L'alternative par les ouverts consiste à trouver deux ouverts non vides disjoints.

Espace connexe. Un espace irréductible non vide est connexe, mais la réciproque est fausse. L'intervalle [0, 1] est connexe ; pourtant, les fermés [0, 1/2] et [1/2, 1] sont propres et leur réunion vaut tout l'intervalle.

Polynôme ou élément irréductible. Le même adjectif exprime encore une impossibilité de décomposition, mais le test change avec l'objet. Pour un polynôme, on cherche une factorisation ; pour un espace topologique, on cherche une réunion de deux fermés propres.

Convention sur le vide. La définition historique donnée ici n'exclut pas l'espace vide. Certains auteurs imposent toutefois « non vide » ; il faut reprendre leur convention avant d'appliquer un théorème.

Fermé dans quel espace ? Le test porte sur les fermés de X. Une partie peut être fermée dans X sans l'être dans un espace ambiant ; il faut employer la topologie induite sur X.

Deux ne signifie pas une infinité. L'irréductibilité interdit aussi tout recouvrement fini par des fermés propres, par regroupements successifs. Elle n'interdit pas un recouvrement infini : un ensemble infini muni de la topologie cofinie est irréductible, mais il est la réunion de ses singletons fermés.

Passage à une partie. Une partie arbitraire d'un espace irréductible peut devenir réductible avec la topologie induite. Dans un ensemble infini à topologie cofinie, toute partie formée de deux points est discrète et se décompose en ses deux singletons fermés.

La fiche fermé - topologie - précise la notion utilisée dans le critère de décomposition et son lien avec les complémentaires ouverts.

La fiche adhérence - topologie - permet d'approfondir le rôle d'un point dont l'adhérence remplit tout l'espace.