Valeur d'adhérence
Une valeur d'adhérence d'une suite (u_n) est une limite d'une sous-suite extraite de (u_n). L'ensemble des valeurs d'adhérence est le plus petit fermé contenant toutes les valeurs limites des sous-suites convergentes. La limite supérieure (lim sup) et la limite inférieure (lim inf) d'une suite réelle bornée sont les plus grandes et les plus petites valeurs d'adhérence respectivement. Une suite réelle bornée converge si et seulement si elle n'a qu'une seule valeur d'adhérence.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir une valeur d’adhérence par la convergence d’une sous-suite extraite.
- Calculer les deux valeurs d’adhérence d’une suite oscillante.
- Relier, sous les bonnes hypothèses, valeurs d’adhérence, lim sup, lim inf et convergence.
- Distinguer valeur d’adhérence, limite de suite et point d’accumulation.
- Repérer pourquoi l’unicité d’une valeur d’adhérence ne suffit pas sans contrôle de l’échappement.
En clair
Imaginez une liste de nombres qui saute sans cesse entre deux zones. Si l’on ne garde que certains rangs, les nombres conservés peuvent pourtant se rapprocher d’une valeur précise. Cette valeur est une valeur d’adhérence.
Pour la suite 0, 3/2, −2/3, 5/4, −4/5, 7/6…, les termes de rang pair se rapprochent de 1, tandis que ceux de rang impair se rapprochent de −1. La suite entière oscille, mais elle possède donc deux valeurs d’adhérence.
Définition
Soit une suite dont le terme de rang n est noté un, dans un espace métrique. Une sous-suite conserve des termes d’indices nk strictement croissants. Un point L est une valeur d’adhérence lorsqu’il existe un tel choix d’indices pour lequel les termes conservés convergent vers L : .
Autrement dit, aussi près que l’on regarde autour de L, on retrouve des termes de rang arbitrairement grand. L’ensemble des valeurs d’adhérence est fermé ; il peut être vide, réduit à un point ou contenir plusieurs points. Une suite convergeant vers L n’a que L comme valeur d’adhérence. La réciproque exige toutefois que les termes ne puissent pas s’échapper, par exemple que la suite soit réelle et bornée.
Pour une suite réelle bornée, le théorème de Bolzano-Weierstrass assure l’existence d’au moins une valeur d’adhérence. Sa limite supérieure est la plus grande de ces valeurs et sa limite inférieure la plus petite. Dans ce cadre, l’égalité entre limite supérieure et limite inférieure caractérise la convergence.
Un exemple, pas à pas
Données. Pour chaque entier n ≥ 1, on considère le nombre sans unité . On cherche toutes ses valeurs d’adhérence.
1. Les premiers termes sont u1 = 0, u2 = 3/2, u3 = −2/3 et u4 = 5/4. L’alternance suggère de séparer les rangs pairs des rangs impairs.
2. Pour le rang pair 2k, le signe vaut 1 et . Ainsi, 1 est une valeur d’adhérence.
3. Pour le rang impair 2k − 1, le signe vaut −1 et . Ainsi, −1 est une autre valeur d’adhérence.
4. Toute sous-suite contient une infinité de rangs pairs ou une infinité de rangs impairs. Si elle converge, l’une de ces deux extractions converge vers la même limite. Il n’existe donc aucune troisième valeur d’adhérence.
Résultat et contrôle. L’ensemble cherché est {−1, 1}. Il donne lim inf un = −1 et lim sup un = 1. Pour k ≥ 5, chaque terme pair est à au plus 1/10 de 1, ce que le graphique permet de vérifier.
En pratique
Quand une suite oscille, on sépare d’abord les familles de rangs qui ont un comportement régulier. Dans l’exemple, la parité fournit immédiatement deux sous-suites et deux limites.
Pour montrer qu’un nombre L est une valeur d’adhérence, il faut exhiber des indices strictement croissants et prouver la convergence des termes correspondants. Constater seulement que quelques termes sont proches de L ne suffit pas.
Pour prouver qu’une suite réelle bornée converge, on peut aussi déterminer ses valeurs d’adhérence. Si elles se réduisent à un unique réel L, la suite converge vers L ; sans bornitude, ce raccourci n’est plus valable.
À ne pas confondre
Limite de la suite. Si tous les termes de rang assez grand se rapprochent de L, la suite converge vers L. Pour une valeur d’adhérence, il suffit qu’une extraction le fasse : la suite de l’exemple a deux valeurs d’adhérence et aucune limite.
Valeur prise une infinité de fois. Une telle valeur est toujours une valeur d’adhérence, grâce à une sous-suite constante. Mais une valeur d’adhérence peut ne jamais être atteinte : les termes 1/n convergent vers 0 sans jamais valoir 0.
Point d’accumulation d’un ensemble. Cette notion porte sur les points d’un ensemble, sans tenir compte de l’ordre ni des répétitions. La suite constante un = 2 a 2 pour valeur d’adhérence, alors que l’ensemble de ses valeurs {2} n’a aucun point d’accumulation.
Limites et pièges
Une valeur unique ne suffit pas toujours. Définissons u2k = 0 et u2k−1 = 2k−1. La seule valeur d’adhérence réelle est 0, mais les termes impairs s’échappent vers +∞ : la suite ne converge pas. Il faut contrôler la bornitude ou, plus généralement, la compacité relative.
L’ensemble peut être vide. La suite un = n ne possède aucune sous-suite convergente dans les réels. Le symptôme est l’échappement de tous les termes ; il ne faut pas conclure qu’elle converge parce qu’elle n’a pas deux valeurs d’adhérence.
Lim sup et lim inf demandent un cadre précis. Pour une suite réelle bornée, elles sont bien la plus grande et la plus petite valeur d’adhérence. Pour une suite non bornée, elles peuvent être infinies dans la droite réelle achevée ; ce ne sont alors pas des valeurs d’adhérence réelles.
Un espace borné ne garantit pas toujours une extraction. En dimension infinie, une suite bornée peut n’avoir aucune sous-suite convergente pour la norme. Avant d’appliquer Bolzano-Weierstrass, il faut vérifier que le cadre est Rd ou qu’une propriété de compacité convient.
Pour aller plus loin
Le théorème de Bolzano-Weierstrass explique pourquoi toute suite réelle bornée possède au moins une valeur d’adhérence.
La fiche suite bornée aide à reconnaître l’hypothèse qui empêche les termes de s’échapper vers l’infini.
Le point d’accumulation prolonge l’idée du côté des ensembles, où l’ordre et les répétitions ne jouent plus le même rôle.
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