zéro d'une fonction

Imaginez une machine qui reçoit un nombre et en renvoie un autre. Certains nombres placés à l’entrée font sortir exactement 0 : ce sont les zéros de la fonction. Pour la fonction qui associe à un nombre son carré diminué de 4, les entrées −2 et 2 donnent toutes deux 0.

Sur la courbe représentative, ces nombres se lisent aux endroits où la courbe rencontre l’axe horizontal. Ils indiquent donc les valeurs d’entrée qui annulent la fonction.

Soit une fonction numérique appelée f, définie sur un ensemble de nombres D. Un nombre a est un zéro de f lorsque a appartient à D et que son image par f est nulle, ce qui s’écrit $f(a)=0f(a)=0$. Le mot racine est aussi employé dans ce sens.

Chercher les zéros de f revient donc à résoudre l’équation f(x)=0 parmi les nombres x autorisés par son domaine. Une fonction peut n’avoir aucun zéro, en avoir un seul, plusieurs ou une infinité. La fonction nulle, qui vaut 0 en tout point de son domaine, a pour zéros tous les nombres de ce domaine.

Dans un repère, un zéro est l’abscisse d’un point de la courbe dont l’ordonnée vaut 0. Cette lecture graphique fournit parfois seulement une valeur approchée ; une substitution dans l’expression de la fonction permet de vérifier une valeur exacte.

La notion met en relation cinq éléments : une fonction f, son domaine D, un nombre candidat a, l’image f(a) et la valeur 0. Le domaine décide d’abord si a est une entrée autorisée. La règle de la fonction détermine ensuite l’image de a ; ce nombre est un zéro seulement si cette image vaut 0.

Le graphe traduit la même relation : l’entrée a devient une abscisse et l’image f(a) une ordonnée. Le point correspondant est sur l’axe horizontal exactement lorsque f(a)=0. La couleur, l’épaisseur ou l’échelle du tracé ne définissent pas le zéro ; seules comptent la fonction, son domaine et l’annulation de son image. Ces données suffisent à tester un candidat ou à poser l’équation des zéros.

Considérons la fonction f définie sur les nombres réels par f(x)=x²−4. Les données sont son domaine, l’ensemble des réels, et sa règle de calcul : élever l’entrée au carré, puis retrancher 4.

1. Pour trouver les zéros, posons l’image égale à 0.
2. Factorisons la différence de deux carrés.
3. Un produit est nul lorsqu’au moins l’un de ses facteurs est nul.

Les deux zéros sont donc −2 et 2. Le contrôle se refait par substitution : f(−2)=(−2)²−4=0 et f(2)=2²−4=0. Sur la courbe, les points d’abscisses −2 et 2 sont bien situés sur l’axe horizontal.

Pour résoudre une équation, on peut ramener tous ses termes du même côté et définir une fonction avec cette différence. Les solutions de l’équation sont alors les zéros de cette fonction. Une résolution algébrique est préférable quand l’expression se factorise ou se transforme exactement.

Sur un graphique, on relève les abscisses des intersections avec l’axe horizontal. Cette méthode convient pour localiser les zéros, mais la précision dépend de l’échelle et du tracé. Une vérification par calcul est préférable lorsqu’une valeur exacte est demandée.

Quand aucune transformation simple n’aboutit, une méthode numérique peut approcher un zéro, sous les hypothèses qui la justifient. Le résultat doit alors être annoncé comme une approximation, avec une précision choisie, puis contrôlé selon le critère d’erreur de la méthode : une image proche de 0 ne suffit pas, à elle seule, à prouver qu’un zéro est proche.

Un zéro de f et la valeur f(0). Un zéro est une entrée a dont l’image vaut 0, tandis que f(0) est l’image de l’entrée 0. Pour f(x)=x²−4, les zéros sont −2 et 2, mais f(0)=−4.

L’intersection avec l’axe horizontal et celle avec l’axe vertical. Les zéros se lisent sur l’axe horizontal, où l’ordonnée est nulle. L’intersection avec l’axe vertical correspond à l’entrée 0 et représente f(0). Dans l’exemple, ces lectures donnent respectivement −2 et 2, puis −4.

Une racine d’une fonction et la fonction racine carrée. Ici, racine est un synonyme de zéro. La fonction racine carrée est une fonction particulière : son nom ne signifie pas que toutes ses valeurs sont des zéros.

Vérifier le domaine. Une valeur qui annule une expression transformée n’est pas un zéro si la fonction d’origine n’y est pas définie. Il faut donc contrôler l’appartenance au domaine avant de retenir la solution.

Ne pas exiger un changement de signe. La fonction f(x)=x² a pour zéro 0, mais ses valeurs restent positives ou nulles de part et d’autre. Une courbe peut toucher l’axe horizontal sans le traverser.

Ne pas déduire un zéro d’un saut de signe. Sans continuité, une fonction peut passer de valeurs négatives à positives sans jamais valoir 0. Il faut vérifier une valeur candidate ou disposer d’hypothèses garantissant l’annulation.

Distinguer exact et approché. Une calculatrice peut afficher une entrée dont l’image est très petite sans qu’elle soit exactement nulle. Il faut annoncer la tolérance choisie et écrire ≈ pour un zéro numérique approché.

Antécédent. Situer le zéro comme un antécédent particulier de la valeur 0.

Courbe représentative. Relier les valeurs d’une fonction aux coordonnées des points de son graphe.

abscisse. Préciser la coordonnée horizontale utilisée pour lire graphiquement un zéro.