Antécédent

Une machine reçoit un nombre, le transforme et affiche un résultat. Si elle élève le nombre au carré et affiche 9, quels nombres a-t-elle pu recevoir ? Les réponses sont −3 et 3 : ce sont les antécédents de 9.

Chercher un antécédent revient donc à remonter du résultat vers une entrée possible. Certains résultats n'ont aucune entrée correspondante, d'autres en ont une seule ou plusieurs.

Soit une fonction nommée f, définie sur un ensemble de départ D et à valeurs dans un ensemble d'arrivée E. Pour un élément y de E, un antécédent de y par f est un élément x de D qui vérifie $f(x)=yf(x)=y$. La recherche porte toujours dans le domaine D. Selon la fonction et la valeur choisie, l'ensemble des solutions peut être vide, réduit à un élément ou contenir plusieurs éléments.

L'image d'un élément x est le résultat f(x), tandis qu'un antécédent de y est une entrée possible. Si f est injective, chaque élément de son image possède au plus un antécédent. Si f est surjective sur E, chaque élément de E en possède au moins un. Une fonction bijective réunit ces deux propriétés : chaque élément de E possède alors exactement un antécédent.

Pour une partie B de l'ensemble d'arrivée, l'image réciproque de B rassemble tous les éléments du domaine dont l'image appartient à B. Elle se note $f^{-1}(B)=\{x\in D\mid f(x)\in B\}f^\{-1\}(B)=\backslash \{x\backslash in\; D\backslash mid\; f(x)\backslash in\; B\backslash \}$. Cette notation décrit un ensemble même lorsque f n'a pas de fonction inverse. Le mot « préimage » est également employé pour l'image réciproque.

On considère la fonction f qui associe à chaque nombre réel son carré. Les données sont : le domaine est l'ensemble des nombres réels ; l'ensemble d'arrivée est aussi l'ensemble des nombres réels ; la valeur cherchée est 9.

1. Chercher les antécédents de 9 consiste à résoudre l'équation $x^2=9x^2=9$.

2. Le nombre 3 convient, car $f(3)=3^2=9f(3)=3^2=9$.

3. Le nombre −3 convient aussi, car $f(-3)=(-3{)}^2=9f(-3)=(-3)^2=9$. Aucun autre nombre réel n'a pour carré 9.

Le résultat est donc : 9 a exactement deux antécédents par f, −3 et 3. Le graphique fournit un contrôle refaisable : la droite horizontale de hauteur 9 coupe la courbe du carré aux abscisses −3 et 3. En revanche, −1 n'a aucun antécédent réel par cette fonction, puisqu'un carré réel n'est jamais négatif.

Dans une équation de la forme f(x) = y, on cherche les entrées x qui produisent la valeur y. Un calcul algébrique convient lorsque l'expression de f est connue ; une lecture graphique est préférable lorsque seule la courbe est fournie.

Sur un graphique, on trace mentalement la droite horizontale passant par la valeur y. Les abscisses des points d'intersection avec la courbe sont les antécédents. L'absence d'intersection signifie qu'il n'y en a aucun dans le domaine représenté.

Pour retrouver toutes les entrées envoyées dans un ensemble de valeurs B, on cherche l'image réciproque de B plutôt que les antécédents d'une seule valeur. Le résultat est alors une partie du domaine de la fonction.

Image et antécédent. Pour une entrée x, l'image f(x) est déterminée de façon unique. Pour une valeur y, les antécédents sont les entrées qui donnent y et peuvent être plusieurs. Avec la fonction carré, l'image de 3 est 9, tandis que les antécédents de 9 sont −3 et 3.

Image réciproque et fonction inverse. L'écriture f⁻¹(B) désigne l'image réciproque d'un ensemble B pour toute fonction f. Une fonction inverse f⁻¹ n'existe sur tout l'ensemble d'arrivée que lorsque f est bijective. La fonction carré sur les réels a des images réciproques, mais elle n'a pas de fonction inverse sur les réels.

Valeur non atteinte. Une valeur de l'ensemble d'arrivée peut n'avoir aucun antécédent. Le signe observable est l'absence de solution à f(x) = y dans le domaine ; il faut alors conclure que l'ensemble des antécédents est vide, et non que le calcul est incomplet.

Domaine oublié. Les antécédents dépendent du domaine choisi. Pour la fonction carré, 9 a deux antécédents sur les réels, −3 et 3, mais un seul sur les réels positifs ou nuls, 3. Il faut donc lire le domaine avant de résoudre.

Injectivité mal interprétée. Une fonction injective garantit au plus un antécédent, pas l'existence d'un antécédent pour toute valeur de l'ensemble d'arrivée. Pour garantir cette existence, il faut aussi que la valeur appartienne à l'image de la fonction, ou que la fonction soit surjective.

Antécédent d'un ensemble. Pour une partie B, f⁻¹(B) contient tous les x dont l'image appartient à B. Il ne faut pas choisir un seul représentant : une image réciproque peut être vide, finie ou infinie.

Le nombre d'antécédents relie directement cette notion aux propriétés globales d'une fonction. L'injection interdit que deux éléments distincts aient la même image. La surjection garantit que toute valeur de l'ensemble d'arrivée est atteinte.

Réunies, ces deux propriétés caractérisent une bijection : chaque valeur de l'ensemble d'arrivée possède exactement un antécédent. Cette unicité autorise alors la construction d'une fonction inverse.