Ensemble image

Imaginez une machine qui reçoit les nombres −2, −1, 0, 1 et 2, puis renvoie leur carré. Les sorties observées sont seulement 0, 1 et 4. Même si plusieurs entrées donnent la même sortie, celle-ci ne compte qu'une fois. L'ensemble de ces sorties effectivement obtenues est l'ensemble image de la fonction.

Soit une fonction notée f, définie sur un ensemble de départ E et à valeurs dans un ensemble d'arrivée F. Son ensemble image est formé des éléments de F qui sont effectivement obtenus en appliquant f à au moins un élément de E. Il se note f(E) ou Im(f).

Cette définition s'écrit $f(E)=\{f(x)\mid x\in E\}f(E)=\backslash \{f(x)\backslash mid\; x\backslash in\; E\backslash \}$. L'image est donc une partie de F, mais elle n'est pas nécessairement égale à F. La fonction f est surjective précisément lorsque $f(E)=Ff(E)=F$.

Si A est une partie de E, son image par f réunit seulement les valeurs f(x) obtenues lorsque x parcourt A ; elle se note f(A). Une même valeur de l'image peut avoir plusieurs antécédents dans E.

Quatre éléments structurent la notion. L'ensemble de départ E fournit les entrées autorisées. La fonction f associe à chacune une unique valeur. L'ensemble d'arrivée F contient toutes les sorties permises. Enfin, l'image f(E) ne conserve que les sorties réellement atteintes.

Modifier E peut donc modifier l'image, même si la règle de calcul ne change pas. Agrandir F tout en gardant la même règle et les mêmes entrées ne change pas l'image, mais peut faire disparaître la surjectivité. Ces données suffisent à déterminer quelles valeurs sont atteintes et à comparer f(E) avec F.

Considérons l'ensemble de départ E = {−2, −1, 0, 1, 2}, l'ensemble d'arrivée F = {0, 1, 2, 3, 4, 5} et la fonction f qui associe à chaque nombre son carré. Prenons aussi la partie A = {−2, 1} de E.

1. On calcule les cinq sorties : f(−2) = 4, f(−1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1 et f(2) = 4.
2. On retire les répétitions : l'image de E est donc f(E) = {0, 1, 4}.
3. Les valeurs 2, 3 et 5 de F ne sont jamais atteintes ; f n'est donc pas surjective.
4. En ne gardant que les entrées de A, on obtient f(A) = {4, 1} = {1, 4}.

Le contrôle consiste à relire chaque flèche de la fonction : toutes aboutissent à 0, 1 ou 4, et chacune de ces trois valeurs reçoit au moins une flèche. Le schéma matérialise ce contrôle sans confondre sorties répétées et éléments distincts de l'image.

Pour déterminer les valeurs possibles d'une fonction sur un ensemble fini, on calcule toutes les sorties puis on supprime les doublons. Si l'ensemble de départ est infini, on décrit plutôt les valeurs que la règle peut produire.

Pour tester la surjectivité, on compare l'image avec l'ensemble d'arrivée. Une valeur de F sans antécédent suffit à conclure que la fonction n'est pas surjective ; sinon, chaque valeur de F doit être atteinte.

Pour étudier seulement certaines entrées, on remplace E par une partie A et on calcule f(A). Cette restriction est préférable à l'image totale lorsque la question porte explicitement sur un sous-ensemble du domaine.

Ensemble image et ensemble d'arrivée. L'ensemble d'arrivée F contient les valeurs autorisées, tandis que l'image contient celles qui sont atteintes. Dans l'exemple, F = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, mais f(E) = {0, 1, 4}.

Image et image réciproque. L'image part d'entrées pour recueillir leurs sorties. L'image réciproque part d'un ensemble de sorties et recherche toutes les entrées qui y mènent. Ainsi, l'image réciproque de {1, 4} est {−2, −1, 1, 2}, alors que f({−2, 1}) = {1, 4}.

Image et antécédent. Une valeur comme 1 appartient à l'image ; −1 et 1 sont ses antécédents. Le critère est le sens de la recherche : la fonction envoie les antécédents vers leur image.

Les répétitions ne créent pas de nouveaux éléments. Dans l'exemple, 1 possède deux antécédents et 4 aussi, mais l'image reste {0, 1, 4}. Il faut former un ensemble, donc ne compter chaque valeur qu'une fois.

L'image dépend du domaine choisi. Avec la même règle du carré, l'image de A = {−2, 1} est {1, 4}, tandis que celle de E est {0, 1, 4}. Il faut toujours préciser quel ensemble d'entrées est parcouru.

L'ensemble vide a une image vide. Aucune entrée ne produit de sortie, donc $f(\mathrm{\varnothing })=\mathrm{\varnothing }f(\backslash varnothing)=\backslash varnothing$. Ce cas ne permet pas d'ajouter une valeur à l'image par convention.

La notation Im(f) concerne toute la fonction. Pour une partie A de E, on écrit f(A). Employer Im(A) masquerait la fonction qui agit et rendrait le calcul ambigu.

La fiche Antécédent approfondit la recherche des entrées qui produisent une valeur donnée.

La fiche bijection prolonge l'étude vers les fonctions où chaque valeur d'arrivée possède exactement un antécédent.