Corestriction

Imaginez une machine qui accepte quatre jetons et annonce toujours l'une des trois lettres a, b ou c. Son étiquette promet pourtant cinq sorties possibles, de a à e. La corestreindre revient à remplacer cette étiquette par la liste des sorties réellement visées, sans toucher aux jetons ni aux résultats produits.

La règle de la machine reste donc identique. Seul son ensemble d'arrivée devient plus précis.

Soit une application f dont l'ensemble de départ est E et l'ensemble d'arrivée est F. Son image, notée Im(f), est l'ensemble des valeurs effectivement prises par f. On choisit un sous-ensemble B de F qui contient Im(f). La corestriction de f à B, notée f_B, conserve le départ E et la règle qui associe une valeur à chaque élément. Elle remplace seulement l'ensemble d'arrivée F par B.

Avec ces notations, la nouvelle application s'écrit :

La condition Im(f) ⊆ B est indispensable : chaque valeur produite doit appartenir au nouvel ensemble d'arrivée. Si l'on choisit exactement B = Im(f), chaque élément de B possède au moins un antécédent et f_B est surjective. Un choix strictement plus grand reste une corestriction valide, mais il peut laisser des éléments de B sans antécédent.

Une application f associe quatre nombres à des lettres. Données :
L'ensemble de départ est E = {1, 2, 3, 4}.
L'ensemble d'arrivée est F = {a, b, c, d, e}.
La règle donne f(1) = a, f(2) = b, f(3) = a et f(4) = c.

1. Relevons les valeurs effectivement obtenues : a, b, a et c.

2. En supprimant la répétition de a, l'image de f est Im(f) = {a, b, c}. La figure rend visible ce passage des cinq arrivées déclarées aux trois arrivées atteintes.

3. Choisissons B = {a, b, c}. Cet ensemble contient toute l'image, donc la corestriction f_B est bien définie de E vers B. Les quatre associations restent inchangées.

4. Contrôlons le résultat : a reçoit 1 et 3, b reçoit 2, c reçoit 4. Chaque élément de B a donc un antécédent. La corestriction obtenue est surjective.

Lorsqu'une application est présentée avec un ensemble d'arrivée trop large, on détermine d'abord les valeurs qu'elle atteint. On peut ensuite la corestreindre à son image pour obtenir une application surjective sans modifier sa règle.

Dans une démonstration, ce choix est utile quand la suite du raisonnement exige une surjection. Si certaines valeurs de l'ensemble d'arrivée doivent rester disponibles, on préfère un ensemble B plus large que l'image, en acceptant que la surjectivité ne soit plus garantie.

Le contrôle est concret : après avoir choisi B, on vérifie que toute valeur de f appartient à B. Pour conclure à la surjectivité, on vérifie en plus que chaque élément de B est effectivement atteint.

Restriction. Une restriction réduit l'ensemble de départ, tandis qu'une corestriction réduit l'ensemble d'arrivée. Dans l'exemple, garder seulement les départs {1, 2} serait une restriction ; remplacer F par {a, b, c} est une corestriction.

Surjection. La surjectivité est une propriété d'une application : chaque élément de son ensemble d'arrivée est atteint. La corestriction est une opération. Vers {a, b, c}, l'application de l'exemple est surjective ; vers {a, b, c, d}, elle est corestreinte mais d reste sans antécédent.

Ensemble trop petit. Si B oublie une valeur prise par f, l'écriture f_B ne définit pas une application de E vers B. Dans l'exemple, B = {a, b} échoue parce que f(4) = c. Il faut ajouter c ou choisir un autre ensemble contenant toute l'image.

Ensemble encore trop large pour la surjectivité. Contenir l'image suffit pour définir la corestriction, pas pour la rendre surjective. Le choix B = {a, b, c, d} est valide, mais d n'est pas atteint. Pour garantir la surjectivité, il faut prendre B = Im(f).

Ensemble de départ vide. Si E est vide, l'image est vide et toute partie B de F contient cette image. La corestriction est alors surjective uniquement lorsque B est lui-même vide.

Même règle, application différente. Une application comprend sa règle, son départ et son arrivée. Après corestriction, les valeurs associées ne changent pas, mais l'application obtenue n'est pas identique à l'originale lorsque B ≠ F.

La Restriction éclaire l'opération duale, qui agit sur l'ensemble de départ plutôt que sur l'ensemble d'arrivée.

La fiche surjection approfondit la propriété obtenue lorsque l'ensemble d'arrivée est choisi égal à l'image.