Restriction

Imaginez une courbe tracée pour toutes les valeurs réelles, puis ne gardez que le morceau compris entre −2 et 1. La règle de calcul ne change pas : seules les valeurs que l'on accepte au départ sont moins nombreuses. Cette opération s'appelle une restriction.

Restreindre une fonction revient donc à rétrécir son domaine de départ sans modifier ses valeurs sur la partie conservée.

Soit une fonction nommée f, définie sur un ensemble E, et soit A un sous-ensemble de E. La restriction de f à A, notée $f{\mathrm{\mid }}_{A}f|\_A$, est la fonction dont le domaine est A et qui attribue à chaque élément de A exactement la même valeur que f.

La définition complète s'écrit $f{\mathrm{\mid }}_A:A\to F,x\mapsto f(x)f|\_A:A\backslash to\; F,\backslash quad\; x\backslash mapsto\; f(x)$, si F désigne l'ensemble d'arrivée de f. La condition indispensable est $A\subseteq EA\backslash subseteq\; E$. L'ensemble d'arrivée peut rester F, même si toutes ses valeurs ne sont plus atteintes depuis A.

Une propriété locale de f, comme la continuité ou la dérivabilité en un point intérieur de A, reste vraie pour la restriction en ce point. Aux bords de A, la formulation de certaines propriétés doit toutefois tenir compte du nouveau domaine. La même idée s'applique en algèbre à un morphisme, une représentation ou une relation. L'opération inverse recherchée est un prolongement : étendre le domaine tout en conservant les valeurs déjà fixées.

Considérons la fonction f définie sur les nombres réels par $f(x)=x^{2}f(x)=x^2$. On veut la restreindre à l'intervalle A allant de −2 à 1, bornes comprises. Les données sont donc le domaine initial ℝ, le nouveau domaine $A=[-2,1]A=[-2,1]$ et la règle du carré.

1. On remplace le domaine ℝ par l'intervalle A.
2. On conserve la règle : $f{\mathrm{\mid }}_A(x)=x^{2}f|\_A(x)=x^2$ pour chaque nombre x compris entre −2 et 1.
3. On calcule quelques valeurs : $f{\mathrm{\mid }}_A(-2)=4,f{\mathrm{\mid }}_A(0)=0,f{\mathrm{\mid }}_A(1)=1f|\_A(-2)=4,\backslash quad\; f|\_A(0)=0,\backslash quad\; f|\_A(1)=1$.
4. On relève les valeurs obtenues : le minimum vaut 0 et le maximum vaut 4.

La restriction est donc la même parabole, mais seulement pour les abscisses de −2 à 1. Son image est l'intervalle de 0 à 4. Pour contrôler le résultat, on vérifie que chaque point conservé appartenait déjà à la courbe initiale et qu'aucune abscisse hors de A n'appartient au nouveau graphe. Une représentation graphique rend visibles le morceau retenu et ses deux extrémités.

Pour étudier une fonction près d'un point, on peut la restreindre à un intervalle plus petit. On préfère ce geste à une nouvelle formule lorsque la règle reste inchangée et que seul le domaine utile se resserre.

Dans un problème avec contraintes, on restreint la fonction aux valeurs admissibles. Pour la règle x ↦ x², imposer −2 ≤ x ≤ 1 donne exactement l'exemple précédent. Si la règle elle-même change selon les zones, il faut plutôt définir une fonction par morceaux.

En algèbre, on restreint aussi un morphisme à un sous-ensemble stable lorsque les opérations restent compatibles. Si cette stabilité manque, la simple restriction des valeurs ne fournit pas nécessairement un morphisme entre les structures visées.

La restriction ne doit pas être confondue avec l'image d'un ensemble. Restreindre à A change le domaine de la fonction ; calculer l'image de A rassemble les valeurs obtenues. Dans l'exemple, le domaine de la restriction est [−2, 1], tandis que son image est [0, 4].

Elle se distingue aussi d'une fonction définie par morceaux. Une restriction garde partout la règle initiale sur un domaine réduit. Une définition par morceaux peut employer des règles différentes selon la zone considérée.

Enfin, une restriction va d'un domaine plus grand vers un domaine plus petit, tandis qu'un prolongement cherche une fonction sur un domaine plus grand qui coïncide avec la fonction initiale là où celle-ci était définie.

Si A est vide, la restriction existe bien, mais elle n'a aucun argument ni aucune valeur effectivement prise. Si A est égal à E, la restriction coïncide avec la fonction initiale : le domaine n'a pas été réduit.

Le nouveau domaine peut modifier la manière d'énoncer une propriété aux bords. Dans l'exemple, −2 et 1 sont des extrémités de A : une dérivée bilatérale usuelle n'y est pas définie relativement à un voisinage ouvert contenu dans A. Il faut préciser si l'on parle d'une dérivée unilatérale ou de la dérivabilité de la fonction initiale.

Conserver les mêmes valeurs ne garantit pas que toute structure soit conservée. Pour restreindre un morphisme tout en obtenant encore un morphisme sur son domaine, le sous-ensemble choisi doit porter la structure requise et être stable pour les opérations concernées.

Le codomaine déclaré ne devient pas automatiquement l'image de la restriction. Dans l'exemple, on peut garder ℝ comme ensemble d'arrivée, même si les valeurs effectivement atteintes forment seulement [0, 4]. Il faut donc lire séparément domaine, codomaine et image.

Le glossaire Domaine aide à distinguer le domaine de départ, que la restriction réduit, des valeurs obtenues par la fonction.

Le Prolongement par continuité présente une opération en sens inverse : étendre un domaine en préservant les valeurs et la continuité lorsque cela est possible.