fonction d'une variable réelle

Imaginez une machine qui reçoit un nombre réel autorisé et produit une seule réponse. Avec la règle « prendre la racine carrée du nombre diminué de 1 », l'entrée 5 donne 2. En revanche, l'entrée 0 n'est pas admise si l'on veut un résultat réel. La liste des entrées autorisées forme le domaine de définition. Une fonction d'une variable réelle associe ainsi à chaque nombre de ce domaine une valeur bien déterminée, qui peut être un nombre réel, un nombre complexe ou un autre objet.

Une fonction d'une variable réelle est une application dont l'ensemble de départ, appelé domaine de définition, est une partie des nombres réels. On note ce domaine D. À chaque nombre réel x appartenant à D, la fonction f associe un unique élément f(x) d'un ensemble d'arrivée F. Cette structure s'écrit $f:D\to F,D\subseteq \mathbb{R}f\; :\; D\; \backslash to\; F,\backslash quad\; D\; \backslash subseteq\; \backslash mathbb\{R\}$.

L'ensemble F n'est pas nécessairement ℝ : il peut notamment être ℂ. Lorsque F est l'ensemble des nombres réels, f est une fonction numérique d'une variable réelle. Le domaine D contient exactement les valeurs de x pour lesquelles f(x) est défini ; il fait donc partie de la définition de la fonction, au même titre que la règle d'association et l'ensemble d'arrivée.

Ce cadre est celui de l'analyse réelle. On peut y étudier les limites, la continuité, la dérivabilité ou l'intégrabilité de f. Ces propriétés ne sont toutefois pas automatiques : chacune demande ses propres conditions et peut n'être vérifiée que sur une partie du domaine.

Trois données définissent une fonction d'une variable réelle. Le domaine D sélectionne les nombres réels admis comme entrées. La règle f détermine une unique sortie f(x) pour chaque entrée admise. L'ensemble d'arrivée F précise la nature possible des sorties. La variable x, quant à elle, représente une entrée générique du domaine.

La règle dépend du domaine : une même expression peut être définie sur des ensembles différents et donner alors des fonctions différentes. Chaque valeur f(x) doit appartenir à F, mais tous les éléments de F ne sont pas forcément atteints. Le domaine, la règle et l'ensemble d'arrivée définissent la fonction. Son tracé, sa couleur ou l'échelle choisie pour la représenter n'en modifient pas la nature. Ces données suffisent à calculer une image et à former le graphe des couples entrée-sortie.

Considérons la fonction f qui associe à un nombre réel x la racine carrée de x diminué de 1. Son ensemble d'arrivée est ℝ. Les données sont la règle $f(x)=\sqrt{x-1}f(x)=\backslash sqrt\{x-1\}$ et l'entrée x = 5.

1. Pour que la racine carrée soit réelle, le nombre sous la racine doit être positif ou nul : $x-1\ge 0x-1\; \backslash geq\; 0$.

2. Cette condition équivaut à x ≥ 1. Le domaine est donc $D=[1,+\mathrm{\infty }[D=[1,+\backslash infty[$. L'entrée 5 appartient bien à D.

3. On remplace x par 5, puis on effectue les opérations dans l'ordre : $f(5)=\sqrt{5-1}=\sqrt{4}=2f(5)=\backslash sqrt\{5-1\}=\backslash sqrt\{4\}=2$. L'image de 5 par f est exactement 2.

Le contrôle consiste à élever le résultat au carré : 2² = 4, qui est bien égal à 5 − 1. La courbe associée permet aussi d'observer le départ en x = 1 et le point de coordonnées (5 ; 2).

Pour étudier une expression, le premier geste consiste à chercher son domaine. Avec une racine carrée réelle, on impose que le radicand soit positif ou nul ; avec un dénominateur, on exclut ses zéros. Si seules des entrées entières ont un sens, une suite est souvent un cadre plus naturel.

Pour modéliser une grandeur qui varie selon un seul paramètre réel, on choisit ce paramètre comme variable. Une température dépendant du temps peut ainsi être décrite par une fonction réelle. Si plusieurs paramètres indépendants interviennent, une fonction de plusieurs variables devient préférable.

Pour analyser un comportement, on précise toujours la zone du domaine concernée. Une limite décrit l'approche d'un point ou l'éloignement vers l'infini ; la continuité, la dérivabilité et l'intégrabilité répondent à d'autres questions et exigent des vérifications distinctes.

Une fonction d'une variable réelle a des entrées réelles, tandis qu'une fonction à valeurs réelles a des sorties réelles. Le critère est le côté de l'application que l'on regarde. Une fonction de ℝ vers ℂ est d'une variable réelle, mais elle n'est pas à valeurs réelles.

Le domaine et l'ensemble d'arrivée n'ont pas le même rôle. Le premier contient les entrées autorisées ; le second contient les sorties possibles. Pour f(x) = √(x − 1) considérée de [1, +∞[ vers ℝ, le domaine est [1, +∞[, même si les valeurs obtenues sont toutes positives ou nulles.

Une relation n'est pas toujours une fonction. Pour être une fonction, chaque entrée du domaine doit avoir une seule image. La relation réelle y² = x associe deux valeurs de y à x = 4, à savoir −2 et 2 ; elle ne définit donc pas y comme fonction de x sans choix supplémentaire.

Une formule ne garantit pas que toutes les entrées réelles soient permises. Pour f(x) = √(x − 1), tenter x = 0 produit la racine carrée réelle de −1, qui n'est pas définie. Il faut d'abord restreindre le domaine à x ≥ 1.

Connaître seulement l'expression ne suffit pas toujours à identifier une fonction. La même règle, donnée sur [1, +∞[ ou sur [2, +∞[, correspond à deux fonctions dont les domaines diffèrent. Il faut donc annoncer le domaine avec la règle.

Le mot « réelle » porte ici sur la variable, pas nécessairement sur les valeurs. Si l'ensemble d'arrivée est ℂ, une entrée réelle peut produire une valeur complexe. Il faut lire séparément l'ensemble de départ D et l'ensemble d'arrivée F.

Être une fonction d'une variable réelle n'implique ni continuité, ni dérivabilité, ni intégrabilité. Une rupture visible sur un graphe suffit à mettre en doute la continuité, mais chaque propriété possède un critère propre. Il faut la vérifier sur le domaine ou l'intervalle explicitement considéré.

Le glossaire Domaine approfondit le rôle de l'ensemble sur lequel un objet mathématique est défini.

La continuité uniforme montre comment une propriété d'analyse peut contrôler simultanément les variations d'une fonction sur tout son domaine.

L'article Une fonction qui dépasse les bornes prolonge l'étude par un comportement de fonction plus singulier.