fonction uniforme

Prenons le nombre complexe 4. Deux nombres ont pour carré 4 : 2 et −2. L’expression « racine carrée de 4 » ne donne donc pas, à elle seule, une valeur unique. Pour en faire une fonction uniforme, il faut adopter une règle qui choisit une seule des deux valeurs.

Dans le plan complexe, ce choix doit rester cohérent quand l’argument se déplace. Une coupure empêche de faire un tour qui échangerait les deux valeurs. Sur le domaine ainsi découpé, une branche choisie associe une image unique à chaque argument.

Soit un domaine D et une application f de D vers les nombres complexes, notée $f:D\to \mathbb{C}f:D\backslash to\backslash mathbb\{C\}$. La fonction est dite uniforme lorsque chaque argument z de D possède exactement une image f(z). Dans la définition moderne d’une fonction, cette unicité est déjà obligatoire : l’adjectif « uniforme » sert surtout à contraster avec les expressions multiformes rencontrées en analyse complexe.

Pour la racine carrée complexe, une valeur w associée à l’argument z doit vérifier $w^2=zw^2=z$. Si z est non nul, deux valeurs opposées satisfont cette relation. Une branche est un choix cohérent d’une valeur sur un domaine donné. Il n’existe pas de choix continu sur tout le plan privé de 0 ; une coupure reliant le point de branchement à l’infini fournit en revanche un domaine où une branche continue peut être définie.

Une autre solution consiste à remplacer le plan par une surface de Riemann adaptée. Les différentes valeurs y occupent des feuillets distincts, si bien que la fonction devient uniforme sur cette nouvelle surface.

Une fonction uniforme repose sur quatre éléments. Le domaine D précise les arguments autorisés. L’argument z est un point choisi dans ce domaine. La règle f détermine l’image, et l’image f(z) doit être unique. Le domaine et la règle sont indissociables : une même expression peut être multiforme sur un domaine, puis donner une branche uniforme après restriction de ce domaine.

Pour une expression multiforme, une coupure et un choix de branche complètent donc la construction. La coupure fixe le domaine de la branche ; le choix de branche fixe ensuite laquelle des valeurs admissibles devient l’image. Le tracé, la couleur ou l’orientation d’un dessin n’appartiennent pas à la définition. Ces données suffisent à évaluer la fonction en chaque point autorisé et à suivre sa valeur continûment dans le domaine choisi.

On considère la racine carrée complexe et l’argument z égal à 4. Les valeurs cherchées sont les nombres complexes w dont le carré vaut z. On adopte ensuite la branche principale, définie sur le plan privé de l’axe réel négatif et de 0.

1. La relation à résoudre est :

2. Les deux solutions sont 2 et −2, car 2² = 4 et (−2)² = 4. Sans choix supplémentaire, la relation fournit donc deux valeurs pour le même argument. Une représentation de ces deux résultats rend visible la valeur que la branche principale sélectionnera.

3. La branche principale retient la valeur dont l’argument est strictement compris entre −π/2 et π/2. Pour z = 4, elle donne :

Le résultat est une image unique, 2. Le contrôle est direct : son carré vaut 4. La valeur −2 reste une racine de 4, mais elle appartient à l’autre détermination et non à la branche principale choisie.

Lorsqu’une expression complexe semble donner plusieurs valeurs, on commence par préciser son domaine et sa branche. Pour une racine carrée sur un domaine coupé, on préfère une branche lorsque chaque point doit recevoir une valeur calculable sans ambiguïté.

Pour suivre une valeur le long d’un chemin, on vérifie si le chemin franchit la coupure ou entoure un point de branchement. S’il le fait, une branche définie sur le domaine coupé ne suffit plus ; la surface de Riemann permet alors de conserver la continuité du suivi.

Dans un calcul réel ordinaire, « fonction » signifie déjà qu’une entrée possède une seule sortie. On n’ajoute l’adjectif « uniforme » que si le contexte historique ou complexe oppose explicitement une branche à une expression multiforme.

Fonction uniformément continue. Elle possède une propriété de continuité contrôlée par une même précision sur tout son domaine. Une fonction peut être uniforme au sens « à valeur unique » sans être uniformément continue ; la fonction réelle qui associe à chaque nombre son carré sur tout ℝ en est un cas.

Convergence uniforme. Elle décrit la façon dont une suite de fonctions approche une fonction limite avec une même borne d’erreur pour tous les points. Elle ne décide pas si une expression complexe possède une ou plusieurs valeurs.

Loi uniforme. En probabilités, elle répartit les probabilités de manière constante sur un ensemble discret fini ou selon une densité constante sur un intervalle. Son critère porte sur la répartition des probabilités, pas sur l’unicité de l’image d’un argument.

Terminologie moderne. Une « fonction multivaluée » n’est pas une fonction au sens ensembliste strict, puisque ce sens impose une image unique. Il vaut mieux parler de relation multivaluée ou de plusieurs branches quand cette distinction importe.

Le cas z = 0. La racine carrée de 0 vaut uniquement 0, mais 0 reste un point de branchement pour la racine carrée complexe. L’unicité ponctuelle en 0 ne suffit donc pas à produire une branche holomorphe dans un voisinage complet de 0.

Choix de la coupure. L’axe réel négatif est une convention fréquente, pas une nécessité universelle. Une autre coupure convenablement choisie entre 0 et l’infini peut servir, à condition d’annoncer le domaine obtenu et la branche retenue.

Retour après un tour. Si l’on prolonge une racine carrée autour de 0 sans coupure, la valeur change de signe après un tour complet. Ce symptôme révèle l’absence de branche uniforme globale ; il faut couper le domaine ou travailler sur la surface de Riemann à deux feuillets.

La Surface de Riemann montre comment des valeurs auparavant concurrentes deviennent des points distincts d’un même espace, où la fonction retrouve une image unique.

L’article Aux origines de l’analyse complexe replace ces questions de prolongement, de valeurs complexes et de représentation dans leur cadre mathématique.