fonction algébrique

Prenez la fonction qui associe à x la racine carrée de x + 1. Pour x = 3, elle donne 2 ; en élevant ce résultat au carré, on retrouve 3 + 1. Ce contrôle fonctionne pour chaque valeur admise.

Une fonction algébrique est ainsi liée à sa variable par une équation polynomiale qui reste toujours vraie. La formule peut contenir une racine ou un quotient, mais l'équation permet de faire disparaître cette écriture apparente.

Soit K un corps de coefficients et soient X₁, …, X_n des indéterminées. Une fonction F est algébrique sur le corps des fonctions rationnelles K(X₁, …, X_n) s'il existe un polynôme non nul P à coefficients dans K, de degré strictement positif en une variable Y, tel que :

L'égalité doit être une identité sur le domaine où la branche F est définie. Une fonction rationnelle A/B, avec A et B polynomiaux et B non nul, est algébrique car elle vérifie BF − A = 0. Les expressions construites par les quatre opérations et des extractions de racines fournissent beaucoup de fonctions algébriques. La réciproque n'est toutefois pas vraie en général : certaines équations polynomiales de degré au moins 5 définissent des fonctions algébriques qui ne s'expriment pas par radicaux. Une fonction transcendante, telle que l'exponentielle, le logarithme ou une fonction trigonométrique, ne vérifie aucune relation polynomiale non nulle de ce type.

Cinq éléments organisent la notion. Le corps K fixe les coefficients autorisés. Les indéterminées X₁, …, X_n représentent les variables d'entrée. Le polynôme P, non nul et dépendant réellement de Y, porte la relation. La valeur Y = F(X₁, …, X_n) est une solution de cette relation. Enfin, le domaine et la branche précisent quelle solution devient la fonction étudiée.

Le choix de K détermine les polynômes disponibles, tandis que P relie les entrées aux valeurs possibles de Y. Le domaine et la branche transforment ensuite cette relation, parfois multivaluée, en une fonction. Ces données suffisent à vérifier l'algébricité et à repérer les points où une branche cesse d'être régulière ou réelle.

Étudions la fonction réelle F définie par F(x) = √(x + 1). Les données sont le corps des réels, le domaine x ≥ −1 et la racine carrée non négative. Nous testerons x = −1, 0, 3 et 8.

1. Posons y = F(x). L'égalité y = √(x + 1) implique y² = x + 1, donc la relation polynomiale est : $P(x,y)=y^2-x-1=0P(x,y)=y^2-x-1=0$.

2. Le polynôme P est non nul et son degré en y vaut 2. La relation prouve que F est algébrique sur ℝ(x).

3. Calculons les valeurs annoncées : F(−1) = 0, F(0) = 1, F(3) = 2 et F(8) = 3. La figure montre ces quatre points sur la branche non négative.

4. Contrôlons par substitution : 0² − (−1) − 1 = 0, 1² − 0 − 1 = 0, 2² − 3 − 1 = 0 et 3² − 8 − 1 = 0. La branche négative vérifie aussi l'équation, mais elle ne correspond pas à la racine carrée choisie.

Pour reconnaître une fonction donnée par une formule, éliminez les racines et les dénominateurs afin d'obtenir une relation polynomiale, tout en conservant les conditions de domaine. Si cette élimination exige une opération non algébrique, comme prendre un logarithme, cherchez une autre relation ou employez un critère de transcendance.

Pour étudier une courbe définie implicitement par P(x, y) = 0, cherchez les solutions en y puis choisissez une branche sur un intervalle. Lorsque plusieurs solutions se rejoignent ou s'échangent, gardez la relation implicite plutôt qu'une formule unique artificielle.

Pour comparer deux expressions compliquées, substituez chacune dans le même polynôme et vérifiez aussi leur domaine et leur branche. Une vérification numérique peut repérer une erreur, mais seule l'identité polynomiale accompagnée de ces conditions établit le résultat exact.

Fonction algébrique et fonction rationnelle. Une fonction rationnelle est un quotient de polynômes ; toute fonction rationnelle est algébrique, mais l'inverse est faux. Ainsi, √(x + 1) est algébrique sur son domaine réel et n'est pas une fonction rationnelle.

Fonction algébrique et fonction transcendante. Le critère est l'existence d'une relation polynomiale non nulle entre la variable et la valeur de la fonction. La fonction √(x + 1) vérifie y² − x − 1 = 0 ; l'exponentielle ne vérifie aucune relation de cette nature.

Fonction algébrique et polynôme. Un polynôme fournit directement y − A(x) = 0 et constitue donc un cas particulier. Dans l'exemple √(x + 1), la racine ne se simplifie pas en une expression polynomiale : cette fonction sort de la classe des polynômes sans sortir de celle des fonctions algébriques.

Une relation ne choisit pas toujours une fonction. L'équation y² − x − 1 = 0 admet y = √(x + 1) et y = −√(x + 1) pour x > −1. Si deux valeurs sont possibles, il faut préciser une branche ; écrire seulement l'équation laisse un objet multivalué.

Le domaine fait partie du résultat. Sur les réels, √(x + 1) n'est définie que pour x ≥ −1. Le symptôme d'une extension abusive est une valeur négative sous la racine ; il faut restreindre le domaine ou passer explicitement aux nombres complexes.

Un point de branchement demande un traitement séparé. À x = −1, les deux solutions y = ±√(x + 1) se rejoignent en 0 et la dérivée de la branche réelle devient non bornée. Il faut étudier ce point à partir de l'équation ou d'un paramétrage, sans supposer une régularité ordinaire.

Algébrique ne signifie pas toujours exprimable par radicaux. Les radicaux produisent des fonctions algébriques, mais une équation générale de degré 5 ou plus peut ne pas être résoluble par radicaux. Dans ce cas, la relation polynomiale reste la définition exacte à employer.

fonction rationnelle — Examiner le sous-ensemble des fonctions algébriques défini par un quotient de deux polynômes.

fonction transcendante — Approfondir le critère qui sépare les fonctions liées par un polynôme de celles qui ne le sont pas.

fonction racine carrée — Étudier en détail le domaine, la courbe et les propriétés de l'exemple conducteur.