théorème de Lindemann-Weierstrass

Prenons les nombres 1 et √2. Aucun assemblage rationnel non trivial de ces deux nombres ne vaut zéro. Le théorème affirme alors quelque chose de beaucoup plus fort sur leurs exponentielles : e et e^√2 ne satisfont ensemble aucune équation polynomiale à coefficients rationnels.

Cette absence totale de relation algébrique interdit notamment qu'une combinaison polynomiale de ces deux valeurs s'annule. Le résultat transforme ainsi une indépendance entre exposants algébriques en indépendance algébrique entre exponentielles.

Le théorème de Lindemann-Weierstrass appartient à l'arithmétique transcendante. Un nombre est algébrique s'il est racine d'un polynôme non nul à coefficients rationnels. Des nombres sont linéairement indépendants sur ℚ lorsque la seule combinaison linéaire rationnelle qui vaut zéro est celle dont tous les coefficients sont nuls.

Soient α₁, …, α_n des nombres algébriques linéairement indépendants sur ℚ. Le théorème assure que e^α₁, …, e^α_n sont algébriquement indépendants sur ℚ : aucun polynôme non nul à coefficients rationnels, en n variables, ne s'annule en ces valeurs.

Une forme équivalente utilise des exposants b₁, …, b_n algébriques et deux à deux distincts. Pour tous coefficients algébriques a₁, …, a_n qui ne sont pas tous nuls, la somme suivante ne s'annule pas : $a_1{e}^{b_1}+\cdots +a_n{e}^{b_n}\mathrm{\ne }0a\_1e^\{b\_1\}+\backslash cdots+a\_ne^\{b\_n\}\backslash neq\; 0$. Le cas n = 1 est le théorème d'Hermite-Lindemann.

Si les nombres algébriques α₁, …, α_n sont linéairement indépendants sur ℚ, alors leurs exponentielles sont algébriquement indépendantes sur ℚ. Autrement dit, pour tout polynôme non nul P à coefficients rationnels en n variables, on a :

L'hypothèse porte donc sur des relations linéaires rationnelles entre les exposants ; la conclusion élimine toutes les relations polynomiales rationnelles entre leurs exponentielles.

La première formulation demande deux vérifications. Chaque exposant doit être un nombre algébrique. Ensuite, les exposants doivent être linéairement indépendants sur ℚ : une égalité q₁α₁ + … + q_nα_n = 0, avec des nombres rationnels q_i, doit imposer que tous les q_i soient nuls. La conclusion concerne alors l'indépendance algébrique des exponentielles.

Le couple 1 et 2 fournit un contre-cas concret : ses membres sont algébriques, mais 2 × 1 − 1 × 2 = 0. Le théorème ne permet donc pas de déclarer e et e² algébriquement indépendants ; ils vérifient au contraire la relation Y − X² = 0. Pour étudier une somme d'exponentielles, on emploie plutôt la formulation à exposants algébriques distincts et à coefficients algébriques non tous nuls.

On étudie les exponentielles de 1 et de √2.
Données : 1 est algébrique, car il annule X − 1. Le nombre √2 est algébrique, car il annule X² − 2.

1. Supposons que deux nombres rationnels p et q vérifient p + q√2 = 0.

2. Si q n'est pas nul, alors √2 = −p/q serait rationnel, ce qui est impossible. Ainsi q = 0, puis p = 0. Les exposants 1 et √2 sont donc linéairement indépendants sur ℚ.

3. Le théorème s'applique : e et e^√2 sont algébriquement indépendants sur ℚ. Aucun polynôme non nul P à coefficients rationnels ne vérifie P(e, e^√2) = 0.

Le contrôle se refait sur les monômes : deux couples distincts d'entiers naturels (m, n) donnent des exposants distincts m + n√2. Une relation polynomiale produirait donc une combinaison linéaire interdite d'exponentielles d'exposants algébriques distincts.

Pour établir qu'une exponentielle e^α est transcendante, on vérifie que l'exposant α est algébrique et non nul. Le cas n = 1 suffit alors ; une recherche de polynôme minimal de e^α serait inadaptée, puisque le résultat exclut précisément son existence.

Pour plusieurs exponentielles, on commence par tester l'indépendance linéaire sur ℚ de leurs exposants. Si elle est établie, la première formulation donne directement l'indépendance algébrique des valeurs.

Lorsqu'une expression est déjà une somme finie a₁e^b₁ + … + a_ne^b_n, le bon geste est différent. On vérifie que les exposants b_i sont algébriques et distincts, puis que les coefficients algébriques a_i ne sont pas tous nuls ; la forme linéaire conclut que la somme ne vaut pas zéro.

Indépendance linéaire et indépendance algébrique. La première interdit seulement les relations linéaires homogènes à coefficients rationnels, non triviales ; la seconde interdit toute relation polynomiale. Pour e et e^√2, le théorème fournit la seconde propriété, donc aussi la première.

Transcendance et indépendance algébrique. Deux nombres peuvent être chacun transcendants sans être algébriquement indépendants. Si x est transcendant, x et x² vérifient tout de même Y − X² = 0.

Lindemann-Weierstrass et Hermite-Lindemann. Le second est le cas n = 1 du premier. Il établit la transcendance de e^α pour un nombre algébrique α non nul, mais ne formule pas à lui seul l'indépendance d'une famille de plusieurs exponentielles.

Exposant nul. Dans le cas n = 1, l'indépendance linéaire de l'exposant impose α ≠ 0. Avec α = 0, l'exponentielle vaut 1 et n'est pas transcendante.

Exposants seulement distincts. Cette condition suffit dans la formulation sur une somme linéaire à coefficients algébriques, mais pas dans la formulation sur l'indépendance algébrique. Les exposants 1 et 2 sont distincts tout en étant liés sur ℚ, et e² = (e¹)².

Exposant non algébrique. Si l'un des exposants est transcendant, les hypothèses ne sont plus réunies. L'absence de conclusion n'est pas une preuve de dépendance : il faut alors employer un autre résultat.

Coefficients tous nuls. Dans la forme linéaire, ils donnent la somme nulle de façon triviale. L'exigence « non tous nuls » est donc indispensable, tout comme le caractère deux à deux distinct des exposants.

Théorème d'Hermite-Lindemann — Isole le cas d'une seule exponentielle et son rôle dans les preuves de transcendance.

Nombre transcendant — Précise ce que signifie échapper à toute équation polynomiale à coefficients rationnels.

En route vers la transcendance — Replace ces résultats dans la recherche de preuves de transcendance.