fonction transcendante

Prenons la fonction exponentielle. Aux nombres 0, 1 et 2, elle associe 1, e et e². On peut calculer autant de valeurs que l’on veut, mais aucune équation polynomiale ne lie partout l’entrée x et la sortie e^x. C’est en ce sens que l’exponentielle est transcendante.

Le mot ne signifie donc ni « très compliquée » ni « sans formule ». Il indique un critère précis : la fonction échappe à toutes les relations polynomiales entre sa variable et sa valeur.

Soit f une fonction d’une variable x, définie sur un domaine où l’égalité considérée a un sens. On fixe un corps de coefficients, généralement les nombres réels ou complexes. La fonction f est algébrique s’il existe un polynôme non nul P en deux variables tel que $P(x,f(x))=0P(x,f(x))=0$ pour tout x du domaine. Elle est transcendante si aucun polynôme non nul ne vérifie cette identité.

En notant X et Y les deux variables formelles, un tel polynôme est une somme finie : $P(X,Y)={\sum }_{i,j}{a}_{ij}{X}^i{Y}^{j}P(X,Y)=\backslash sum\_\{i,j\}a\_\{ij\}X^iY^j$. Après remplacement de X par x et de Y par f(x), la relation doit être vraie sur tout le domaine, et pas seulement pour quelques valeurs. Sur leurs domaines usuels, avec des coefficients réels, les fonctions exponentielle, logarithme et trigonométriques sont transcendantes. Le logarithme, inverse de l’exponentielle sur les réels strictement positifs, et les branches usuelles des fonctions trigonométriques inverses sur des intervalles d’intérieur non vide sont également transcendantes. La fonction Gamma et les fonctions de Bessel fournissent d’autres exemples.

La même distinction s’applique aux séries formelles : la relation polynomiale est alors une identité entre séries, sans supposer que la série converge. Cette séparation structure l’analyse et la théorie des fonctions, notamment l’étude des équations différentielles. Le schéma de classement rend visible le rôle décisif de l’existence, ou non, d’un polynôme P.

Le classement repose sur cinq éléments. Le domaine précise les valeurs admises pour la variable x. La fonction f associe à chaque x une valeur f(x). Le corps de coefficients fixe les nombres autorisés dans les polynômes. Les deux variables formelles X et Y représentent respectivement l’entrée et la sortie. Enfin, un polynôme non nul P constitue la relation recherchée.

Le domaine détermine où l’identité doit tenir. Le corps de coefficients détermine quelles relations sont admissibles. En substituant x à X et f(x) à Y, on obtient l’expression P(x, f(x)). Une seule relation identiquement nulle suffit pour classer f comme algébrique ; l’absence de toute relation de ce type la classe comme transcendante. Le tracé, la couleur ou l’échelle d’un graphe n’interviennent pas dans cette définition. Ces données suffisent à poser le test de classement, même si démontrer l’absence de tout P demande souvent un raisonnement spécifique.

Montrons que la fonction exponentielle réelle f, définie par f(x) = e^x, est transcendante. Les données sont le domaine des nombres réels, un polynôme P à coefficients réels et l’identité supposée P(x, e^x) = 0 pour tout réel x.

1. Regroupons P selon les puissances de sa seconde variable. Il existerait un entier m et des polynômes p₀, …, p_m, avec p_m non nul, tels que :

2. Divisons l’identité par e^mx, qui n’est jamais nul :

3. Quand x tend vers +∞, chaque exponentielle décroissante e^−(m−k)x l’emporte sur la croissance polynomiale de p_k(x). La somme correspondante tend donc vers 0. L’identité imposerait alors que le polynôme non nul p_m(x) tende vers 0, ce qui est impossible.

La supposition conduit à une contradiction : aucun P non nul n’existe, donc e^x est transcendante. Le contrôle consiste à vérifier les deux points décisifs : e^mx ne s’annule pas et un polynôme non nul ne tend pas vers 0 lorsque x tend vers +∞.

Dans une expression implicite, on cherche d’abord une relation polynomiale entre x et la valeur y. Si une telle relation existe, les outils des fonctions algébriques sont adaptés ; sinon, il faut étudier la fonction transcendante par ses propriétés analytiques.

Pour décrire une croissance proportionnelle à la quantité présente, l’exponentielle apparaît naturellement. Un modèle polynomial reste préférable si les données montrent seulement une variation de type puissance, sans taux relatif constant.

Dans un phénomène périodique, sinus et cosinus encodent une répétition régulière. Un polynôme convient mieux lorsque le comportement ne se répète pas et qu’une approximation locale sur un intervalle court suffit.

Dans l’étude d’une équation différentielle, identifier la nature algébrique ou transcendante d’une solution oriente les méthodes disponibles. Le critère porte sur une identité exacte ; une simple approximation polynomiale ne change pas la nature de la fonction.

Fonction transcendante et nombre transcendant. La première est une application ; le second est un nombre qui n’annule aucun polynôme non nul à coefficients entiers. La fonction e^x est transcendante, alors que sa valeur en x = 0 vaut 1, un nombre algébrique.

Fonction transcendante et fonction non élémentaire. « Transcendante » décrit l’absence de relation polynomiale avec la variable. « Non élémentaire » concerne l’impossibilité d’écrire une fonction à l’aide d’un répertoire donné d’opérations et de fonctions usuelles. L’exponentielle est à la fois transcendante et élémentaire : elle tranche nettement la confusion.

Fonction transcendante et valeur irrationnelle. L’irrationalité qualifie un nombre, pas une fonction entière. Une fonction transcendante peut prendre des valeurs rationnelles : e⁰ = 1 en fournit un cas immédiat.

Quelques essais ne constituent pas une preuve. Ne pas trouver de relation après avoir testé plusieurs polynômes ou plusieurs valeurs de x ne prouve pas la transcendance. Il faut exclure tous les polynômes non nuls, par un argument général comme celui utilisé pour e^x.

Le corps de base doit être fixé. Le mot « algébrique » est relatif aux coefficients autorisés. Dans le cadre usuel, ils sont réels ou complexes et restent constants par rapport à x ; après regroupement, ce sont les polynômes en x qui dépendent de x. Autoriser arbitrairement la fonction elle-même parmi les coefficients rendrait le critère vide ; il faut donc annoncer le cadre avant de conclure.

Une approximation polynomiale n’est pas une identité. Un polynôme de Taylor peut approcher e^x avec une grande précision sur un intervalle. Le symptôme du piège est le signe ≈ ou la présence d’un reste : seule une relation exacte, valable sur tout le domaine considéré, établit l’algébricité.

Une fonction inverse peut nécessiter une branche. Le logarithme complexe et les fonctions trigonométriques inverses ne sont pas globalement univoques. Il faut choisir un domaine ouvert connexe non vide et une branche analytique avant de les traiter comme fonctions ; relativement aux coefficients complexes constants, ces branches sont transcendantes. Pour une série formelle, en revanche, aucune convergence n’est requise : l’identité se compare coefficient par coefficient.

La fonction algébrique présente l’autre branche du critère et montre ce qu’une relation polynomiale permet d’étudier.

La fonction exponentielle approfondit l’exemple conducteur, ses propriétés de croissance et son rôle en analyse.

La fonction logarithme éclaire l’inverse de l’exponentielle et la nécessité de choisir une branche dans le plan complexe.

La fonction gamma donne accès à une fonction spéciale transcendante qui prolonge la factorielle.

Le nombre transcendant permet de distinguer la transcendance d’une valeur numérique de celle d’une fonction.