AnalyseObjet mathématique · Glossaire
Multiforme (fonction)
Une fonction multiforme (ou multivalue) est une correspondance qui associe à chaque point de son domaine une ou plusieurs valeurs, contrairement à une fonction ordinaire qui en associe une seule. L'exemple classique est la racine carrée complexe, qui associe à tout nombre complexe non nul deux valeurs opposées. On choisit des déterminations ou branches pour obtenir des fonctions uniformes localement. La notion de surface de Riemann permet de considérer une fonction multiforme comme une fonction uniforme sur un espace de recouvrement ramifié.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer une correspondance multiforme d'une fonction à valeur unique.
- Suivre pas à pas les deux racines carrées complexes autour de zéro.
- Relier branches, feuillets, ramification et surface de Riemann.
- Repérer les limites d'une valeur principale et d'une branche globale.
En clair
Prenons le nombre complexe 1 et cherchons ses racines carrées. Deux réponses conviennent : 1 et −1, puisque leur carré vaut 1. Une fonction multiforme conserve ces deux valeurs au lieu d'en privilégier une.
Pour calculer comme avec une fonction ordinaire, on peut suivre continûment l'une des valeurs sur une région adaptée. Ce choix s'appelle une détermination, ou une branche. Autour de certains points, un tour complet peut toutefois mener de la valeur choisie à l'autre.
Définition
Au sens classique, une fonction multiforme associe à une entrée un ensemble de valeurs possibles. Il s'agit donc d'une correspondance, et non d'une fonction au sens moderne strict, qui doit avoir une valeur unique. Pour la racine carrée complexe, à un nombre complexe z on associe les nombres complexes w qui vérifient : . Si z est non nul, les deux valeurs sont opposées ; pour z = 0, elles se confondent en une seule valeur, 0.
Une détermination est une fonction à valeur unique choisie parmi ces valeurs. Pour la racine carrée, une détermination holomorphe existe localement au voisinage de tout point non nul. Elle existe aussi sur tout domaine ouvert simplement connexe qui évite 0. En revanche, aucun choix continu ne peut être défini sur tout le plan privé de 0 : suivre une racine pendant un tour autour de 0 change son signe.
La surface de Riemann rassemble les valeurs en feuillets reliés. Pour la relation w2 = z, l'ensemble des couples (z, w) qui la vérifient porte une valeur w unique en chaque point. La projection vers z a deux feuillets hors de 0 et se ramifie en 0. La fonction devient ainsi uniforme sur cette surface, sans supprimer aucune de ses valeurs.
De quoi c'est fait
Une fonction multiforme se décrit par quatre éléments. Le domaine de base contient les entrées z. Au-dessus de chaque entrée, la fibre réunit ses valeurs possibles w. Les branches choisissent localement une valeur de chaque fibre de façon continue, souvent holomorphe. Enfin, les points de ramification sont ceux autour desquels la poursuite d'une branche peut conduire à une autre valeur.
Les fibres déterminent le nombre de feuillets, tandis que la manière dont les branches s'échangent détermine leur raccordement. La surface de Riemann encode ensemble ces fibres et ces raccordements. Pour la racine carrée, deux feuillets se trouvent au-dessus de chaque z non nul, mais ils se rejoignent au-dessus de 0. Ces données suffisent à suivre une valeur le long d'un chemin et à savoir si elle revient à son point de départ.
Un exemple, pas à pas
On suit une racine carrée lorsque le nombre z parcourt une fois le cercle unité dans le sens trigonométrique. Les données sont :
• un angle réel t allant de 0 à 2π ;
• l'entrée z(t) = eit ;
• la valeur initiale w(0) = 1 ;
• la relation w(t)2 = z(t).
• un angle réel t allant de 0 à 2π ;
• l'entrée z(t) = eit ;
• la valeur initiale w(0) = 1 ;
• la relation w(t)2 = z(t).
1. Au départ, z(0) = 1. Les deux racines possibles sont 1 et −1 ; on choisit 1.
2. Pour conserver une valeur continue, l'angle de la racine doit rester égal à la moitié de l'angle de z. On obtient :
3. À l'arrivée, z(2π) = 1, mais w(2π) = eiπ = −1. Un tour a donc échangé les deux racines, comme le montre le chemin continu représenté dans la figure.
4. Un second tour prolonge le même choix de −1 jusqu'à 1. Le contrôle est direct : le carré de eit/2 vaut eit à chaque instant. Il faut deux tours autour de 0 pour retrouver la valeur initiale.
En pratique
Dans une équation comme w2 = z, on garde les deux racines si l'on cherche toutes les solutions. Une branche unique convient seulement lorsqu'un calcul exige une valeur déterminée et que son domaine est annoncé.
Dans un logiciel, la racine carrée complexe renvoie généralement une valeur principale. Ce choix est pratique pour un résultat reproductible, mais une discontinuité apparaît le long d'une coupure. Si un chemin traverse cette coupure, il vaut mieux suivre la valeur par prolongement continu.
En analyse complexe, la surface de Riemann est préférable à une branche isolée lorsque plusieurs valeurs ou plusieurs tours participent au problème. Elle conserve les feuillets et indique précisément comment un chemin fait passer de l'un à l'autre.
À ne pas confondre
Fonction à valeurs vectorielles. Elle renvoie un seul vecteur par entrée, même si ce vecteur possède plusieurs composantes. Par exemple, z ↦ (z, z2) a une valeur unique ; la racine carrée de 1 en a deux, 1 et −1.
Fonction définie par morceaux. Plusieurs règles peuvent y être écrites, mais une seule s'applique à chaque point du domaine. Si deux valeurs restent possibles pour la même entrée après application des règles, la relation est multiforme.
Fonction de plusieurs variables. La multiplicité concerne alors les entrées, non les sorties. La fonction (x, y) ↦ x + y associe une seule somme au couple (x, y), tandis qu'une fonction multiforme peut associer plusieurs sorties à une seule entrée.
Limites et pièges
Valeurs qui se confondent. La racine carrée possède deux valeurs opposées pour z ≠ 0, mais une seule en z = 0. Ce point reste spécial : aucune racine carrée holomorphe n'existe sur un voisinage ouvert de 0. Il faut traiter 0 comme un point de ramification, et non comme un point ordinaire à deux valeurs.
Branche locale, impossibilité globale. Une formule cohérente sur une petite région peut cesser de l'être sur un domaine entourant 0. Le symptôme est un changement de signe après un tour. Il faut restreindre le domaine par une coupure ou travailler sur la surface de Riemann.
Valeur principale prise pour l'unique valeur. Une calculatrice peut afficher une seule racine complexe parce qu'elle applique une convention. Pour retrouver la relation multiforme, il faut ajouter l'autre valeur opposée et tenir compte de la coupure choisie.
Recouvrement ramifié. Hors de 0, la projection de la surface w2 = z vers le plan z est un recouvrement à deux feuillets. En 0, les feuillets se rejoignent : ce n'est plus un recouvrement ordinaire. Il faut préciser « ramifié » lorsque ce point est inclus.
Pour aller plus loin
La fiche Surface de Riemann développe l'espace qui raccorde les branches et rend la valeur uniforme.
La fonction logarithme complexe montre une autre multiformité : ses valeurs diffèrent de multiples entiers de 2iπ.
L'entrée analyse complexe situe branches, prolongement analytique et surfaces de Riemann dans leur cadre général.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres