fonction hyperelliptique

Imaginez deux feuilles superposées, reliées aux points de branchement : au-dessus des zéros simples du polynôme et, lorsque son degré est impair, au point situé à l'infini. Pour une fonction elliptique, cette surface possède un seul « trou ». Quand le polynôme sous la racine, sans racine multiple, est de degré 5 ou 6, elle en possède deux : on entre dans le cas hyperelliptique de genre 2.

Les intégrales suivies sur cette surface enregistrent plusieurs chemins indépendants. Leur inversion ne donne donc plus, en général, une fonction d'une seule variable à deux périodes, mais des fonctions abéliennes de plusieurs variables organisées par un réseau de périodes.

Une construction hyperelliptique part de la courbe affine décrite par $y^2=P(x)y^2=P(x)$, où P est un polynôme sans racine multiple, puis considère sa complétion projective lisse. Si le degré de P vaut 2g + 1 ou 2g + 2, l'entier g désigne le genre de cette complétion. Le cas hyperelliptique proprement dit commence à g ≥ 2, donc aux degrés 5 et 6. Les degrés 3 et 4 donnent le cas elliptique de genre 1.

Sur une courbe de genre g, on intègre g différentielles holomorphes indépendantes. Les valeurs obtenues dépendent des chemins, et les parcours fermés engendrent un réseau de périodes à 2g générateurs. Le quotient de l'espace complexe de dimension g par ce réseau est la jacobienne de la courbe. Les fonctions méromorphes périodiques sur cette jacobienne sont des fonctions abéliennes ; celles issues d'une courbe hyperelliptique sont couramment qualifiées d'hyperelliptiques.

Cette formulation précise la généralisation : pour g = 1, une intégrale elliptique s'inverse en une fonction elliptique d'une variable. Pour g ≥ 2, le problème naturel est l'inversion simultanée de plusieurs intégrales, appelée inversion de Jacobi. Abel et Jacobi ont posé les fondements de cette théorie, centrale en géométrie algébrique et dans l'étude des courbes.

La première donnée est le polynôme P, dont les zéros simples sont les points de branchement de la projection vers la droite des x. La seconde est la courbe à deux feuillets $y^2=P(x)y^2=P(x)$. Son degré fixe le genre g : 2g + 1 et 2g + 2 conduisent au même genre. La troisième donnée est un choix de g différentielles holomorphes, qui transforment les chemins de la courbe en vecteurs complexes.

Enfin, 2g cycles indépendants fournissent les générateurs du réseau de périodes, et la jacobienne accueille les fonctions obtenues par inversion. Le schéma structurel résume ces dépendances pour le genre 2. Le tracé choisi pour les coupures ou les cycles peut changer leur représentation, mais ni le genre ni la jacobienne à isomorphisme près. Ces données suffisent à formuler les intégrales, leurs périodes et le problème d'inversion.

Considérons le polynôme P défini par $P(x)=x^5-x+1P(x)=x^5-x+1$, puis la courbe C d'équation $y^2=P(x)y^2=P(x)$. Les données sont donc un polynôme de degré 5 et une racine carrée à deux branches.

1. La dérivée de P est $P^{\mathrm{\prime }}(x)=5x^4-1P\text{'}(x)=5x^4-1$.
2. Une racine commune de P et de sa dérivée devrait vérifier à la fois $x^4=\frac{1}{5}x^4=\backslash frac\{1\}\{5\}$ et, après substitution de $x^5=\frac{x}{5}x^5=\backslash frac\{x\}\{5\}$ dans P, $1-\frac{4x}{5}=01-\backslash frac\{4x\}\{5\}=0$.
3. La seconde égalité imposerait x = 5/4, qui ne vérifie pas $x^4=\frac{1}{5}x^4=\backslash frac\{1\}\{5\}$. Le polynôme n'a donc pas de racine multiple.

4. Comme 5 = 2 × 2 + 1, la complétion projective lisse de C a pour genre g = 2.
5. Sur cette complétion, deux différentielles holomorphes indépendantes sont $\frac{dx}{y}\backslash frac\{dx\}\{y\}$ et $\frac{xdx}{y}\backslash frac\{x\backslash ,dx\}\{y\}$. Leurs intégrales sur quatre cycles de base produisent le réseau de périodes.

Le contrôle est refaisable : le degré 5 donne bien le genre 2, donc deux différentielles et 2g = 4 générateurs de périodes. L'inversion porte simultanément sur les deux intégrales ; chercher seulement l'inverse d'une intégrale comme dans le cas elliptique manquerait une dimension du problème.

Pour classer une courbe donnée par y² = P(x), on vérifie d'abord que P n'a pas de racine multiple, puis on lit son degré. Les degrés 3 ou 4 orientent vers les fonctions elliptiques ; les degrés 5 ou 6 orientent vers le premier cas hyperelliptique.

Dans l'étude d'une courbe de genre g ≥ 2, on choisit g différentielles holomorphes et une base de 2g cycles. Leurs intégrales forment une matrice de périodes ; la jacobienne devient alors le cadre naturel pour poser l'inversion.

Pour comparer deux modèles de la même courbe, on ne s'arrête pas à l'apparence de leur équation. On compare plutôt le genre, les points de branchement et la structure de la jacobienne, qui portent l'information géométrique pertinente.

Fonction elliptique. Elle correspond au genre 1 et possède deux périodes fondamentales. Une équation lisse y² = P(x) avec P de degré 3 ou 4 relève de ce cas ; avec un degré 5 ou 6, elle conduit au genre 2 et au cadre hyperelliptique.

Courbe hyperelliptique. La courbe est l'objet géométrique d'équation y² = P(x). Les fonctions hyperelliptiques sont les fonctions abéliennes obtenues dans le problème d'inversion associé. Donner seulement l'équation de la courbe ne définit donc pas encore une fonction particulière.

Fonction abélienne. Le terme désigne plus largement une fonction méromorphe périodique de plusieurs variables complexes. Une fonction issue d'une jacobienne hyperelliptique est abélienne, mais toute fonction abélienne n'est pas nécessairement hyperelliptique.

Le degré ne suffit pas si P a une racine multiple. L'équation devient singulière et la formule du genre ne s'applique pas directement au modèle brut. Le symptôme est une racine commune à P et à sa dérivée ; il faut normaliser la courbe avant de calculer son genre.

Le seuil charnière est g = 2. Aux degrés 3 et 4, le genre vaut 1 et l'inversion elliptique d'une variable convient. Aux degrés 5 et 6, le genre vaut 2 : deux intégrales doivent intervenir dans le problème d'inversion de Jacobi.

« 2g périodes » ne signifie pas 2g nombres canoniques. Il s'agit de 2g générateurs d'un réseau dans un espace complexe de dimension g. Leur valeur dépend du choix des cycles ; le réseau et la jacobienne, eux, portent l'information intrinsèque.

L'inversion d'une seule intégrale est généralement insuffisante. Pour g ≥ 2, elle ne fournit pas à elle seule l'analogue direct d'une fonction elliptique d'une variable. Il faut formuler l'inversion simultanée de g intégrales sur la jacobienne.

fonction elliptique — Revenir au genre 1 pour voir le cas à une variable et à deux périodes fondamentales.

courbe algébrique — Situer l'équation y² = P(x) parmi les objets définis par des relations polynomiales.

Genre — Approfondir l'invariant qui détermine le nombre de différentielles et la dimension de la jacobienne.

Surface de Riemann — Visualiser les feuillets, les branchements et les cycles sur lesquels se calculent les périodes.