GéométrieNotion · Glossaire
Genre
Le genre est un invariant topologique fondamental des surfaces compactes sans bord. Pour une surface orientable, le genre est le nombre d'anses (ou trous) de la surface : la sphère a genre 0, le tore a genre 1, une surface avec deux trous a genre 2, etc. La caractéristique d'Euler-Poincaré d'une surface de genre g est . Pour les surfaces non orientables, on utilise le genre non orientable. Le genre caractérise complètement les surfaces compactes, connexes, orientables et sans bord à homéomorphisme près.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître le genre 0 de la sphère, le genre 1 du tore et le genre 2 d'une surface à deux anses.
- Calculer la caractéristique d'Euler-Poincaré d'une surface orientable fermée à partir de son genre.
- Repérer les cas où le bord, la non-orientabilité ou la non-connexité imposent une autre description.
En clair
Imaginez une sphère en caoutchouc : elle ne possède aucune anse. Une tasse dont l'anse rejoint le corps évoque plutôt un tore, car un passage la traverse. Une surface à deux anses possède deux passages indépendants.
Le nombre 0, 1 ou 2 ainsi obtenu est le genre. Étirer ou courber la surface sans la couper ni la recoller ne change pas ce nombre. Le genre décrit donc sa forme topologique, et non sa taille ou son aspect géométrique.
Définition
Le genre est un invariant topologique associé à une surface. Dans le cadre de classification usuel, la surface est connexe, compacte, sans bord et orientable. Son genre, noté g, est un entier naturel qui compte ses anses : la sphère a pour genre 0, le tore pour genre 1 et une surface à deux anses pour genre 2. Deux surfaces reliées par un homéomorphisme ont le même genre. Réciproquement, dans ce cadre précis, le genre suffit à classer les surfaces à homéomorphisme près.
La caractéristique d'Euler-Poincaré, notée par la lettre grecque chi, est reliée au genre par l'identité suivante :
Cette identité vaut pour une surface connexe, compacte, orientable et sans bord. Elle donne notamment 2 pour la sphère, 0 pour le tore et −2 pour la surface à deux anses. Pour une surface non orientable, on emploie un genre non orientable, fondé sur une autre convention de comptage. Si la surface a un bord ou plusieurs composantes connexes, ces données doivent être prises en compte : le seul entier g ne fournit plus la même classification.
Un exemple, pas à pas
Considérons une surface en forme de double tore. Le calcul doit retrouver ce que sa silhouette suggère.
Données.
La surface est connexe, compacte, orientable et sans bord.
Elle possède deux anses.
La relation applicable est celle entre la caractéristique d'Euler-Poincaré et le genre.
La surface est connexe, compacte, orientable et sans bord.
Elle possède deux anses.
La relation applicable est celle entre la caractéristique d'Euler-Poincaré et le genre.
1. Le nombre d'anses donne directement le genre : g = 2.
2. Dans l'identité , on remplace le genre g par 2.
3. On obtient exactement . La caractéristique d'Euler-Poincaré de cette surface vaut donc −2.
Contrôle. En isolant le genre, on trouve . Le calcul restitue bien les deux anses observées.
En pratique
Pour identifier une surface fermée orientable connexe, on compte ses anses ou on calcule sa caractéristique d'Euler-Poincaré. Le calcul est préférable lorsque la surface est décrite par un découpage et que les anses sont difficiles à voir.
Pour écarter un homéomorphisme, on compare les genres. Une sphère de genre 0 ne peut pas être homéomorphe à un tore de genre 1. Si les genres coïncident, la conclusion réciproque n'est valable que pour des surfaces connexes, compactes, orientables et sans bord.
Pour contrôler un modèle, on confronte le nombre d'anses à la valeur obtenue par la relation . En présence d'un bord ou d'une surface non orientable, on change de formule et on conserve explicitement cette information supplémentaire.
À ne pas confondre
Genre et caractéristique d'Euler-Poincaré. Ce sont deux invariants liés, mais leurs valeurs ne sont pas les mêmes. Pour un tore, le genre vaut 1 tandis que la caractéristique d'Euler-Poincaré vaut 0.
Genre et nombre de composantes. Le genre compte les anses d'une surface connexe dans le cadre retenu ; il ne compte pas les morceaux séparés. Deux sphères disjointes ont deux composantes, chacune de genre 0.
Genre et courbure. Le genre décrit la topologie, tandis que la courbure décrit la géométrie locale. Deux sphères de rayons différents gardent le même genre 0 malgré leurs courbures différentes.
Limites et pièges
Surface avec bord. Un disque ressemble à un morceau de sphère, mais son bord circulaire est observable. La formule ne s'y applique pas telle quelle ; il faut inclure le nombre de composantes du bord.
Surface non orientable. Le symptôme décisif est l'impossibilité de choisir une orientation cohérente sur toute la surface. Il faut alors employer le genre non orientable, et non compter des anses orientables.
Surface non connexe. Un unique genre ne décrit pas plusieurs morceaux indépendants. Il faut décomposer la surface en composantes connexes et indiquer le genre de chacune.
Mot « trou ». Dans ce contexte, il désigne une anse de la surface, pas une cavité d'un solide ni une partie retirée créant un bord. Au cas charnière g = 0, la surface orientable fermée n'a aucune anse.
Pour aller plus loin
La fiche caractéristique d'Euler approfondit l'invariant qui permet de retrouver le genre d'une surface orientable fermée.
La fiche Homéomorphisme précise la transformation qui conserve le genre et fonde la comparaison topologique des surfaces.
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