cross-cap

Prenez un ruban, faites-lui subir un demi-tour, puis raccordez ses deux extrémités : vous obtenez un ruban de Möbius, qui n'a qu'un seul bord. Imaginez maintenant que ce bord soit cousu exactement sur le contour d'un disque. Le disque ferme l'ouverture, mais le demi-tour empêche encore de distinguer partout un côté intérieur d'un côté extérieur.

Cet assemblage donne le modèle abstrait d'une cross-cap. Lorsqu'on cherche à le représenter dans l'espace ordinaire, la surface doit se traverser elle-même : ce croisement appartient au dessin spatial, pas à la surface abstraite.

En topologie des surfaces, ajouter une cross-cap consiste à retirer l'intérieur d'un disque, puis à recoller un ruban de Möbius le long du cercle ainsi créé. Le bord du ruban et celui du disque retiré sont identifiés point par point. Cette opération introduit une partie non orientable : un déplacement autour du demi-tour inverse localement l'orientation.

Une sphère munie d'une cross-cap est un modèle du plan projectif réel, aussi nommé cross-surface dans la source. Avec deux cross-caps, elle donne un modèle de la bouteille de Klein. Avec trois, elle donne la surface de Dyck, présentée comme homéomorphe à la somme connexe du plan projectif réel et du tore, selon le résultat attribué à Walther von Dyck. La surface de Boy et la surface romaine sont d'autres réalisations spatiales citées avec la cross-cap.

Le théorème de classification des surfaces compactes, connexes et sans bord sépare les modèles orientables, construits à partir d'une sphère munie d'anses, des modèles non orientables, construits à partir d'une sphère munie de cross-caps. Dans une représentation immergée dans l'espace à trois dimensions, l'auto-intersection et les points cuspidaux, localement analogues au parapluie de Whitney, décrivent la représentation ; ils ne sont pas des bords de la surface abstraite.

On veut construire le plan projectif réel à partir des deux pièces citées dans la définition. Les données sont un disque, un ruban de Möbius et leurs deux bords, chacun formant un cercle. Le schéma de recollement rend visible le rôle exact de ces pièces.

1. Partez d'un rectangle et identifiez ses deux côtés opposés après un demi-tour. Vous obtenez un ruban de Möbius ; les deux autres côtés du rectangle forment ensemble son unique bord.

2. Prenez un disque et considérez son contour circulaire. Ce contour sera toute la zone de raccordement.

3. Faites correspondre chaque point du bord du ruban à un point du contour du disque, puis effectuez le recollement sur tout le cercle. Aucun bord libre ne subsiste.

4. La surface fermée obtenue est un modèle du plan projectif réel, autrement dit une sphère munie d'une cross-cap.

Le contrôle consiste à suivre le raccord : le bord unique du ruban et le contour entier du disque ont été appariés. S'il reste un segment de bord libre, le recollement est incomplet et la surface obtenue n'est pas le modèle annoncé.

Pour reconnaître le plan projectif réel dans une décomposition, on cherche une sphère à laquelle une seule cross-cap a été ajoutée. Si deux cross-caps apparaissent, le modèle à retenir est plutôt la bouteille de Klein.

Pour classer une surface compacte, connexe et sans bord, on examine d'abord si une orientation cohérente peut être conservée partout. Les anses décrivent alors la famille orientable ; les cross-caps décrivent la famille non orientable.

Pour lire un modèle dessiné dans l'espace ordinaire, on distingue la surface abstraite de son image. Une auto-intersection visible indique que deux nappes de l'image occupent le même lieu ; elle ne crée pas automatiquement un bord ni une couture supplémentaire.

Cross-cap et ruban de Möbius. Le ruban de Möbius possède un bord ; la cross-cap est ajoutée à une surface en recollant ce bord sur un cercle. Un ruban encore ouvert n'est donc pas, à lui seul, la surface fermée obtenue après recollement.

Plan projectif réel et bouteille de Klein. Les deux surfaces sont non orientables, mais le nombre de cross-caps les sépare dans les modèles de la source : une pour le plan projectif réel, deux pour la bouteille de Klein.

Surface abstraite et représentation immergée. Une auto-intersection se voit dans l'image spatiale de la cross-cap. Deux points distincts de la surface peuvent y avoir la même image sans être un seul point de la surface abstraite.

Le mot change de focale. Selon le contexte, « cross-cap » peut désigner l'opération topologique d'ajout d'un ruban de Möbius ou l'image singulière employée pour la représenter. Il faut préciser si l'on parle de la surface abstraite ou de son immersion.

L'auto-intersection n'est pas une couture supplémentaire. Sur un dessin spatial, des nappes se croisent. Il faut revenir au recollement du bord du ruban sur le disque pour savoir quels points sont réellement identifiés.

Les points cuspidaux appartiennent au modèle singulier. Leur voisinage est rapproché du parapluie de Whitney dans la source. Ils signalent une singularité de la représentation et ne doivent pas être lus comme des sommets intrinsèques de la surface.

Le nombre de cross-caps compte. Une, deux et trois cross-caps conduisent respectivement, dans les cas cités, au plan projectif réel, à la bouteille de Klein et à la surface de Dyck. Confondre ces nombres change le type topologique annoncé.

Möbius (ruban de) présente la pièce non orientable dont le bord est recollé au disque pour former une cross-cap.

bouteille de Klein prolonge la construction avec deux cross-caps et aide à distinguer ce modèle du plan projectif réel.