Domaine
En mathématiques, le domaine d'une fonction (ou domaine de définition) est l'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie. En algèbre, un domaine ou domaine d'intégrité est un anneau commutatif unitaire sans diviseurs de zéro, c'est-à-dire un anneau dans lequel le produit de deux éléments non nuls est non nul. En géométrie complexe, un domaine est un ouvert connexe du plan complexe. Ces différentes acceptions partagent l'idée d'un espace où les opérations et fonctions s'appliquent de manière cohérente.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer les trois sens du mot domaine en mathématiques.
- Calculer le domaine réel d'une fonction racine carrée.
- Reconnaître les conditions d'un domaine d'intégrité et d'un domaine complexe.
- Éviter la confusion entre domaine de définition et image d'une fonction.
En clair
Imaginez une machine qui calcule la racine carrée du nombre reçu après lui avoir retiré 2. Avec 6, elle renvoie 2. Avec 1, elle ne donne aucun nombre réel, car il faudrait prendre la racine carrée de −1. Le domaine réunit précisément les entrées que la machine accepte : ici, tous les nombres réels à partir de 2.
Dans d'autres branches, le mot garde cette idée de cadre cohérent. Il nomme une structure algébrique où deux éléments non nuls ne produisent jamais zéro, ou une région ouverte et d'un seul tenant dans le plan complexe.
Définition
Pour une fonction, le domaine de définition est l'ensemble des valeurs d'entrée auxquelles la règle de calcul attribue une sortie. Si la fonction est notée f, son domaine est souvent noté Df. Une restriction peut venir d'une opération impossible dans l'ensemble de nombres choisi : division par zéro, racine carrée d'un nombre négatif parmi les réels, ou autre condition propre à la formule. Le domaine dépend donc à la fois de la règle et de l'ensemble dans lequel on travaille.
En algèbre, un domaine d'intégrité est un anneau commutatif possédant un élément unité et aucun diviseur de zéro. Autrement dit, si deux éléments a et b ont un produit nul, alors au moins l'un des deux est nul : . Cette condition concerne la multiplication dans l'anneau, non les valeurs admises par une fonction.
En géométrie complexe, un domaine est une partie du plan complexe qui est à la fois ouverte et connexe. Ouverte signifie que chaque point possède autour de lui un petit disque entièrement contenu dans la partie. Connexe signifie que la partie ne se sépare pas en deux morceaux ouverts disjoints. Les trois sens partagent donc une idée de cadre de validité, mais leurs conditions ne sont pas interchangeables.
Un exemple, pas à pas
On étudie, parmi les nombres réels, la fonction f qui associe à un nombre x la racine carrée de x moins 2 : . La donnée à contrôler est l'expression sous la racine, x − 2.
1. Pour obtenir une valeur réelle, l'expression sous la racine doit être positive ou nulle.
2. Cette condition s'écrit .
3. En ajoutant 2 aux deux membres, on obtient .
4. Le domaine de définition est donc l'intervalle .
2. Cette condition s'écrit .
3. En ajoutant 2 aux deux membres, on obtient .
4. Le domaine de définition est donc l'intervalle .
Le contrôle se refait aux frontières. Pour x = 2, la fonction vaut 0 : l'entrée 2 est admise. Pour x = 1, l'expression sous la racine vaut −1 : aucune valeur réelle n'est définie. Pour x = 6, la fonction vaut 2. La courbe annoncée commence donc au point de coordonnées (2 ; 0) et n'existe que pour les abscisses supérieures ou égales à 2.
En pratique
Avant de calculer les valeurs d'une fonction, on repère les entrées interdites par sa formule. Si une racine carrée est prise parmi les réels, son contenu doit être positif ou nul ; si l'on travaille parmi les nombres complexes, cette restriction n'est plus la même.
Pour étudier un anneau, on teste si deux éléments non nuls peuvent avoir un produit nul. Si un tel couple existe, la structure n'est pas un domaine d'intégrité ; on parle alors de diviseurs de zéro pour décrire l'obstacle.
Dans le plan complexe, on vérifie séparément l'ouverture et la connexité d'une région. Une partie fermée échoue au premier critère ; deux disques ouverts disjoints échouent au second, même si chaque disque est ouvert.
À ne pas confondre
Domaine de définition et image d'une fonction. Le domaine rassemble les entrées autorisées ; l'image rassemble les sorties effectivement obtenues. Pour la fonction sur les réels, 2 appartient au domaine et 0 appartient à l'image.
Domaine d'intégrité et domaine d'une fonction. Le premier est un anneau soumis à une condition sur les produits nuls. Le second est un ensemble d'entrées. Pour les distinguer, il suffit de regarder ce qui est testé : une multiplication interne, ou l'applicabilité d'une fonction.
Domaine complexe et partie simplement connexe. Un domaine doit être ouvert et connexe, mais il peut comporter un trou. La simple connexité ajoute une condition plus forte : toute boucle du domaine doit pouvoir s'y contracter continûment jusqu'à un point.
Limites et pièges
L'ensemble de nombres change le domaine. La fonction racine carrée de x − 2 a pour domaine [2, +∞[ lorsqu'elle est étudiée sur les réels. Dans un cadre complexe, l'inégalité x ≥ 2 n'est plus le bon critère et une fonction racine exige le choix d'une branche. Il faut donc annoncer l'ensemble de départ et la convention retenue.
Le domaine complexe doit satisfaire deux conditions. Une réunion de deux disques ouverts disjoints est ouverte, mais elle n'est pas connexe : ce n'est pas un domaine. Un disque fermé est connexe, mais non ouvert : ce n'est pas davantage un domaine.
L'absence de diviseurs de zéro ne se vérifie pas sur quelques produits. Il faut que le produit de toute paire d'éléments non nuls reste non nul. Trouver un seul contre-exemple suffit en revanche à exclure la qualification de domaine d'intégrité.
Pour aller plus loin
Le glossaire Diviseur de zéro précise l'obstruction qui empêche un anneau commutatif unitaire d'être un domaine d'intégrité.
La fiche connexité - topologie - approfondit la condition qui impose à un domaine complexe de former un seul morceau.
L'article Des nombres pas si complexes présente le plan dans lequel se placent les domaines de géométrie complexe.
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