ArithmétiqueNotion · Glossaire
Diviseur de zéro
Un diviseur de zéro est un élément non nul a d'un anneau tel qu'il existe un élément non nul b vérifiant ab = 0 ou ba = 0. Un diviseur de zéro à gauche satisfait ab = 0 et un diviseur de zéro à droite satisfait ba = 0. Un anneau commutatif unitaire, non nul et sans diviseurs de zéro est appelé anneau intègre. Dans l'anneau des entiers modulo n, avec n ≥ 2, les diviseurs de zéro sont précisément les classes des entiers non nuls qui ne sont pas premiers avec n.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un diviseur de zéro à partir de deux facteurs non nuls.
- Vérifier le calcul des classes de 2 et de 3 modulo 6.
- Distinguer diviseur de zéro, élément zéro, diviseur arithmétique et élément non inversible.
- Comprendre pourquoi la simplification par un diviseur de zéro peut échouer.
En clair
Sur une horloge à six positions, deux fois trois fait un tour complet et revient à zéro. Pourtant, ni 2 ni 3 ne représente zéro. Dans l’anneau des entiers modulo 6, leur produit est donc nul : 2 et 3 sont des diviseurs de zéro.
Le phénomène révèle que la multiplication peut perdre de l’information. Connaître un produit nul ne suffit plus à conclure que l’un des deux facteurs était nul.
Définition
Dans un anneau, un diviseur de zéro est un élément non nul qui donne zéro lorsqu’on le multiplie par un autre élément non nul. Si les deux éléments sont notés a et b, la condition s’écrit . L’exigence que a et b soient non nuls est essentielle : zéro lui-même n’est pas un diviseur de zéro.
Lorsque la multiplication n’est pas commutative, l’ordre des facteurs compte. L’élément a est un diviseur de zéro à gauche s’il existe un élément non nul b tel que . Il est un diviseur de zéro à droite si un tel élément vérifie . Dans un anneau commutatif, ces deux conditions coïncident.
Dans l’anneau des entiers modulo un entier n ≥ 2, une classe non nulle est un diviseur de zéro exactement lorsqu’un représentant compris entre 1 et n − 1 n’est pas premier avec n. Un anneau commutatif avec une identité, non réduit à zéro et dépourvu de diviseurs de zéro est appelé un anneau intègre.
Un exemple, pas à pas
On travaille dans l’anneau des entiers modulo 6. Les données sont le module 6 et les deux classes représentées par 2 et 3. Ces deux classes sont non nulles, car leurs restes dans la division par 6 sont respectivement 2 et 3.
1. On multiplie les représentants : .
2. On réduit le produit modulo 6. Le nombre 6 laisse un reste nul, donc :
3. Les deux facteurs étant non nuls et leur produit étant nul, les classes de 2 et de 3 sont des diviseurs de zéro. Pour contrôler le résultat, on peut refaire la division : 6 = 1 × 6 + 0.
En pratique
Dans un calcul modulo n, on cherche d’abord si le représentant non nul partage un facteur avec n. Pour le module 6, 2 partage le facteur 2 avec 6 ; la classe de 3 fournit alors un partenaire non nul dont le produit vaut zéro.
Avant de simplifier une égalité par un facteur, il faut vérifier que ce facteur n’est pas un diviseur de zéro. Modulo 6, multiplier 1 ou 4 par 2 donne dans les deux cas la classe de 2. La simplification par 2 ferait pourtant conclure à tort que les classes de 1 et de 4 sont égales.
Pour décider si un anneau commutatif est intègre, on teste précisément l’absence de produit nul entre deux éléments non nuls. Si un seul couple tel que 2 et 3 modulo 6 est trouvé, cet anneau n’est pas intègre.
À ne pas confondre
L’élément zéro. Il annule tout élément, mais la définition d’un diviseur de zéro exige un élément non nul. Modulo 6, la classe de 0 est donc exclue, tandis que celles de 2 et de 3 conviennent.
Un diviseur au sens arithmétique. Un entier divise un autre entier lorsqu’une division exacte est possible. Un diviseur de zéro appartient, lui, à un anneau et se reconnaît par un produit de deux éléments non nuls égal à zéro.
Un élément non inversible. Les deux notions ne coïncident pas dans tous les anneaux. Dans l’anneau des entiers, 2 n’a pas d’inverse entier, mais aucun entier non nul multiplié par 2 ne donne zéro.
Limites et pièges
Le zéro est toujours écarté. Le constat « zéro fois quelque chose vaut zéro » ne détecte aucun diviseur de zéro. Il faut exhiber deux facteurs non nuls.
Le côté doit être précisé dans un anneau non commutatif. Une égalité dans l’ordre ab ne justifie pas automatiquement la même égalité dans l’ordre ba. Il faut vérifier séparément les produits à gauche et à droite.
Le représentant modulo n doit correspondre à une classe non nulle. Le représentant n n’est pas premier avec n, mais sa classe est zéro. Pour appliquer le critère sans ambiguïté, on choisit un représentant entre 1 et n − 1.
Le terme « anneau intègre » suppose un cadre. La convention usuelle demande un anneau commutatif avec une identité et non réduit à l’élément zéro. Dans un autre cadre, il faut annoncer la convention retenue au lieu de déduire le vocabulaire de la seule absence de diviseurs de zéro.
Pour aller plus loin
anneau intègre — Pour approfondir la structure obtenue lorsque tout produit nul impose qu’un facteur soit nul.
arithmétique modulaire — Pour replacer le calcul modulo 6 dans le cadre général des classes de congruence.
Corps des fractions — Pour voir comment un anneau intègre permet de construire un cadre où les éléments non nuls deviennent inversibles.
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