AnalyseNotion · Glossaire
Prolongement par continuité
Le prolongement par continuité d'une fonction f définie sur une partie A d'un espace topologique consiste à trouver une fonction continue g définie sur un espace plus grand, coïncidant avec f sur A. Si f est continue sur A et si la limite de f en un point frontière a existe, on peut prolonger f en a en posant f(a) égal à cette limite. Ce procédé est courant pour lever les indéterminations de fonctions définies sauf en un point. Lorsque A est dense dans le domaine élargi et que l'espace d'arrivée est séparé, le prolongement continu, s'il existe, est unique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la limite qui impose la valeur au point manquant.
- Construire et contrôler un prolongement sur un quotient factorisable.
- Reconnaître les cas où l'existence ou l'unicité échoue.
En clair
Imaginez une courbe bien tracée, sauf en un point où subsiste un trou. Les valeurs prises juste avant et juste après ce point se rapprochent pourtant du même nombre. On peut alors combler le trou avec ce nombre, sans créer de saut dans la courbe.
Ce geste est un prolongement par continuité : la formule d'origine reste inchangée partout où elle était définie, et une valeur est ajoutée au point manquant.
Définition
Soit une fonction notée f, définie sur une partie A d'un espace topologique. Un prolongement de f à un ensemble plus grand B, contenant A, est une fonction notée g qui prend les mêmes valeurs que f sur A. Il s'agit d'un prolongement par continuité lorsque g est continue sur B.
Pour ajouter un point frontière noté a, il faut que les valeurs de f tendent vers une même limite notée L lorsque les points de A s'approchent de a. On pose alors , tout en gardant pour chaque point x de A. Cette construction lève notamment une indétermination en un point lorsque la limite existe. Si aucune limite n'existe, ou si deux chemins d'approche donnent des valeurs différentes, aucune valeur ajoutée ne rend la fonction continue en a.
L'unicité demande une précision. Dans un espace d'arrivée séparé, une limite ne peut avoir deux valeurs distinctes : la valeur au point ajouté est donc imposée. Plus généralement, deux prolongements continus coïncident partout dès que A est dense dans B et que l'espace d'arrivée est séparé. Sans densité, les valeurs hors de l'adhérence de A ne sont pas déterminées par f.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction f définie, pour tout réel x différent de 1, par . On veut savoir si une valeur peut être ajoutée en 1.
1. Pour tout nombre x différent de 1, on factorise puis on simplifie :
.
.
2. Lorsque x tend vers 1 sans lui être égal, l'expression simplifiée tend vers 2 :
.
.
3. On définit la fonction prolongée g par si x diffère de 1, et par . Elle coïncide donc avec f là où f existe.
4. Le contrôle est direct : la fonction g vaut pour tout réel x. Sa valeur en 1 est bien égale à sa limite en 1. La représentation montre ainsi le même alignement, avec un point absent pour f puis rempli pour g.
En pratique
Devant un quotient indéfini en un point, on commence par chercher si le facteur responsable s'élimine hors de ce point. Dans l'exemple, la simplification donne et révèle la valeur 2 à ajouter. Si le dénominateur reste nul sans limite finie, il faut conserver l'exclusion du domaine.
Pour une fonction définie par morceaux, on compare la valeur imposée au point de raccord avec la limite issue de chaque morceau adjacent. Le prolongement convient lorsque toutes les approches autorisées donnent la même valeur. Si les limites diffèrent, aucune valeur isolée ne supprime le saut.
Sur un bord du domaine, seules les approches qui restent dans le domaine comptent. Une limite unilatérale peut donc suffire à ajouter une extrémité, tandis qu'un point intérieur exige l'accord des approches des deux côtés dans le cadre réel usuel.
À ne pas confondre
Avec une interpolation. Une interpolation construit des valeurs entre des données choisies ; un prolongement par continuité doit conserver toutes les valeurs déjà définies et sa valeur au point frontière est imposée par la limite. Pour le quotient de l'exemple, la valeur 2 n'est donc pas un choix d'ajustement.
Avec un prolongement quelconque. Toute fonction g qui coïncide avec f sur son domaine est un prolongement, même si elle crée une rupture. Attribuer à l'exemple une valeur autre que 2 au point 1 prolonge bien la fonction, mais pas continûment.
Limites et pièges
La limite n'existe pas. Si les valeurs oscillent ou tendent vers des résultats différents selon l'approche, le symptôme est l'absence d'une valeur commune. Il faut alors laisser le point hors du domaine au lieu de lui attribuer arbitrairement une image.
La limite est infinie. Dans une fonction réelle à valeurs réelles, une croissance sans borne ne fournit aucun nombre à placer au point manquant. Elle décrit un comportement asymptotique, pas un prolongement continu réel en ce point.
Le point n'est pas approché depuis le domaine. Hors de l'adhérence de A, les valeurs de f n'imposent aucune limite. Ajouter une valeur y constitue une extension, mais la donnée initiale ne suffit pas à la déterminer de manière unique.
L'unicité est mal attribuée. La séparation utile concerne l'espace d'arrivée, où vivent les valeurs de la fonction. Pour conclure à l'unicité sur tout le domaine élargi, il faut aussi que le domaine initial soit dense dans ce domaine élargi.
Pour aller plus loin
fonction continue — Pour replacer l'égalité entre valeur et limite au cœur de la continuité.
Limite à gauche — Pour étudier une approche unilatérale, notamment au bord d'un intervalle.
fonction rationnelle — Pour reconnaître les quotients dont une factorisation peut révéler un point manquant prolongeable.
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