GéométrieNotion · Glossaire
compactifié d'Alexandrov
Pour un espace topologique X séparé, localement compact et non compact, le compactifié d'Alexandrov est l'espace compact X* obtenu en ajoutant un unique point ω, avec X comme ouvert dense. Une base de voisinages de ω est formée par les complémentaires dans X* des compacts de X ; cette règle détermine X* à homéomorphisme près et rassemble toutes les façons de partir à l'infini en un seul point.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Savoir comment les voisinages du point à l'infini sont construits.
- Relier le compactifié du plan à la sphère par projection stéréographique.
- Repérer le cas limite d'un espace de départ déjà compact.
En clair
Imaginez le plan entier, sans bord, parcouru de plus en plus loin dans n'importe quelle direction. Le compactifié d'Alexandrov ajoute un seul point, noté ω, pour représenter toutes ces façons de partir vers l'infini.
Être proche de ω signifie alors se trouver hors d'une région compacte du plan. Avec ce point supplémentaire, le plan se referme comme une sphère : le point ω correspond au point manquant de la sphère.
Définition
Soit X un espace topologique séparé, c'est-à-dire hausdorff, et localement compact. On forme l'ensemble X* en lui ajoutant un point nouveau, noté ω. Les ouverts de X restent ouverts dans X*. Les voisinages de ω sont les ensembles qui contiennent ω et dont le complémentaire dans X* est un compact de X.
Cette topologie rend X* compact. Lorsque X n'est pas compact, X est un ouvert dense de X* : toute proximité de ω rencontre X. Sous ces hypothèses, cette compactification par un point est unique à homéomorphisme près. Elle ajoute donc exactement un point, sans imposer de direction particulière à l'infini.
Pour X = R², ou pour le plan complexe C, l'espace X* est homéomorphe à la sphère S². La projection stéréographique identifie le plan à la sphère privée d'un point, puis associe ω à ce point manquant.
Un exemple, pas à pas
Prenons comme espace de départ le plan R². Les données sont le plan entier, un nouveau point ω et les régions compactes que l'on souhaite laisser derrière soi.
1. On ajoute ω au plan. Aucun point déjà présent n'est déplacé ni identifié à un autre.
2. Autour de ω, on prend comme voisinage le complémentaire d'une région compacte du plan, auquel ω appartient. Agrandir la région compacte revient à resserrer ce voisinage vers l'infini.
3. La projection stéréographique place le plan sur la sphère S² privée d'un point. Une droite issue de ce point coupe la sphère puis le plan, ce qui associe les deux intersections.
4. On associe enfin ω au point manquant. Le résultat est une sphère entière, donc un espace compact. Le contrôle est immédiat : retirer ce seul point de la sphère redonne un espace homéomorphe au plan.
En pratique
Pour étudier le plan R² tout en travaillant dans un espace compact, on lui ajoute ω. Ce choix convient lorsque toutes les façons de s'éloigner doivent aboutir au même point à l'infini.
Dans le plan complexe C, on passe ainsi à la sphère de Riemann. La projection stéréographique fournit le geste concret : elle place chaque point fini sur la sphère et réserve le point manquant à ω.
Pour un espace déjà compact, ajouter ce point ne donne pas un plongement dense : ω devient isolé. Il faut donc vérifier la non-compacité de l'espace de départ lorsque la densité fait partie du résultat recherché.
À ne pas confondre
Sphère de Riemann. Ce n'est pas un procédé différent appliqué au même objet : c'est le nom du compactifié d'Alexandrov du plan complexe C. Le cas tranche dès que l'espace de départ est C et que le résultat est la sphère S².
Projection stéréographique. Elle est l'homéomorphisme qui matérialise le cas du plan, pas la définition générale de la compactification. Si l'on décrit les voisinages de ω par les complémentaires des compacts, on décrit la construction d'Alexandrov elle-même.
Homéomorphisme. Il compare deux espaces topologiques sans les déclarer égaux comme ensembles. Dire que le compactifié de R² est homéomorphe à S² signifie qu'ils ont la même structure topologique.
Limites et pièges
Espace déjà compact. Le compact X lui-même peut servir de complémentaire : le singleton {ω} est alors ouvert. Le symptôme est que ω devient isolé et que X n'est plus dense dans X*. Pour obtenir une véritable compactification dense par un point, on suppose X non compact.
Un seul point pour tous les départs. Le procédé ne conserve pas des directions distinctes vers l'infini. Si cette distinction est nécessaire, le symptôme est précisément que plusieurs comportements éloignés convergent tous vers ω ; il faut alors choisir une autre compactification.
Voisinages de ω. Ils sont déterminés par tous les compacts de X, pas seulement par des disques ou des boules. Dans R², les disques fournissent une image pratique, mais la définition demande de vérifier le complémentaire compact.
Hypothèses topologiques. La séparation et la compacité locale ne sont pas décoratives : elles garantissent le cadre compact séparé annoncé. Si l'une manque, il ne faut pas appliquer automatiquement l'énoncé d'existence et d'unicité donné ici.
Pour aller plus loin
Sphère de Riemann — Retrouvez le cas complexe où le point à l'infini complète le plan en une sphère.
Stéréographique (projection) — Suivez la correspondance géométrique qui identifie le plan à une sphère privée d'un point.
Homéomorphisme — Précisez le sens de l'unicité topologique et de l'identification entre le plan compactifié et la sphère.
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