composition d'applications

Imaginez deux machines placées à la suite. La première reçoit un nombre, le double puis ajoute 1. La seconde élève le résultat au carré. Avec 3, la première machine donne 7, puis la seconde donne 49.

La composition d'applications décrit cette chaîne comme une seule transformation. L'ordre se lit de droite à gauche : dans g∘f, on applique d'abord f, puis g. La sortie de la première application doit pouvoir entrer dans la seconde.

Soient trois ensembles E, F et G. L'application f associe à chaque élément de E un élément de F, tandis que l'application g associe à chaque élément de F un élément de G. Leur composée, notée g∘f, est l'application de E vers G obtenue en appliquant f puis g. Pour tout élément x de E :
La notation place donc g à gauche, bien que g intervienne en second.

Dans ce cadre, la composition est définie lorsque l'ensemble d'arrivée de f est l'ensemble de départ de g. Elle est associative : si une application h part de G, alors $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ fh\backslash circ(g\backslash circ\; f)=(h\backslash circ\; g)\backslash circ\; f$. Les parenthèses peuvent changer sans modifier le résultat, mais l'ordre des applications ne change pas. En général, g∘f et f∘g ne sont pas égales, et l'une des deux peut même ne pas être définie.

Si f et g sont bijectives, leur composée l'est aussi. Pour annuler la chaîne, il faut défaire g avant f ; l'application réciproque vérifie alors $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}(g\backslash circ\; f)^\{-1\}=f^\{-1\}\backslash circ\; g^\{-1\}$.

On travaille sur l'ensemble des nombres réels. L'application f transforme un réel x en 2x + 1. L'application g transforme un réel y en y². On cherche l'image de 3 par g∘f et l'expression de cette composée.

1. On commence par f : f(3) = 2 × 3 + 1 = 7.

2. On transmet 7 à g : g(7) = 7² = 49. Ainsi, (g∘f)(3) = 49.

3. Pour un réel quelconque x, on remplace l'entrée de g par f(x) :
Le diagramme matérialise la circulation de 3 vers 7, puis de 7 vers 49.

4. Un contrôle consiste à inverser l'ordre. On obtient (f∘g)(3) = f(9) = 19, et non 49. Ce calcul confirme à la fois le résultat et l'importance de l'ordre.

Pour calculer une expression emboîtée, on repère l'application la plus intérieure et on commence par elle. Dans g(f(3)), calculer f(3) avant g évite de lire la notation dans le mauvais sens.

Pour remplacer plusieurs étapes par une formule unique, on compose les applications. Avec f(x) = 2x + 1 et g(y) = y², la chaîne devient (2x + 1)². Garder les deux étapes séparées reste préférable si l'on doit inspecter la valeur intermédiaire.

Pour remonter d'un résultat à l'entrée lorsque les applications sont bijectives, on applique les réciproques dans l'ordre inverse. Si une étape n'est pas injective sur le domaine pertinent, l'antécédent peut ne pas être unique. Si elle n'est pas surjective sur son ensemble d'arrivée, certains résultats n'ont aucun antécédent ; on peut alors restreindre cet ensemble à l'image.

Composition et produit. La composée g∘f transmet la sortie de f à g. Le produit fg, lorsqu'il est défini pour des fonctions numériques, multiplie leurs valeurs. Avec f(x) = 2x + 1 et g(x) = x², la composée vaut (2x + 1)², tandis que le produit vaut (2x + 1)x².

Application réciproque et inverse d'un nombre. L'écriture f⁻¹ désigne l'application qui défait f lorsqu'elle existe ; elle ne signifie pas 1/f. Par exemple, pour f(x) = 2x + 1, la réciproque envoie y sur (y − 1) / 2, alors que 1/f envoie x sur 1 / (2x + 1) là où ce quotient existe.

Composition et commutation. Dire que la composition est associative autorise à déplacer les parenthèses dans une chaîne de trois applications. Cela n'autorise pas à permuter f et g : sur l'entrée 3 de l'exemple, g∘f donne 49 alors que f∘g donne 19.

Les ensembles doivent s'enchaîner. Si f envoie E vers F mais que g n'accepte que des éléments d'un autre ensemble H, g∘f n'est pas définie dans le cadre annoncé. Il faut vérifier que la sortie de f appartient bien au domaine de g, puis préciser au besoin une restriction compatible.

Une étape peut perdre de l'information. L'application g(y) = y² sur les réels envoie 7 et −7 sur 49. Elle n'est pas injective ; la composée de l'exemple n'a donc pas de réciproque sur tous les réels. Une restriction à un domaine où chaque résultat a un seul antécédent peut lever ce blocage.

L'identité ne change rien. Composer avec l'application identité du bon ensemble laisse l'application initiale inchangée. Ce cas neutre ne rend pas la composition commutative en général ; il indique seulement qu'une étape particulière n'a aucun effet.

Les parenthèses ne réparent pas un ordre impossible. L'associativité concerne une chaîne dont toutes les compositions sont compatibles. Si une arrivée ne correspond pas au départ suivant, changer le groupement ne suffit pas : il faut corriger les domaines ou l'ordre des applications.

bijection — Préciser la condition qui garantit l'existence d'une application réciproque.

injection — Reconnaître quand une application ne confond pas deux entrées distinctes.

surjection — Vérifier si chaque élément de l'ensemble d'arrivée possède un antécédent.

inversion - application - — Approfondir l'opération qui défait une application et renverse l'ordre d'une chaîne.