composition de fonctions

Imaginez deux machines placées l'une après l'autre. La première reçoit un nombre, le transforme et transmet son résultat à la seconde. Si la première machine calcule « doubler puis retirer 3 » et la seconde « élever au carré », le nombre 4 devient d'abord 5, puis 25.

Composer ces deux fonctions consiste à réunir les deux transformations en une seule. L'ordre compte : mettre la machine « carré » en premier ferait passer 4 par 16, puis par 29.

Soient E, F et G trois ensembles. La fonction f envoie les éléments de E vers F, tandis que la fonction g envoie ceux de F vers G. Leur composée, notée g∘f et lue « g rond f », est la fonction de E vers G obtenue en appliquant f, puis g. Pour un élément x de E, elle vérifie : $(g\circ f)(x)=g(f(x))\backslash left(g\backslash circ\; f\backslash right)(x)=g\backslash left(f(x)\backslash right)$.

Cette écriture suppose que f(x) existe et appartient au domaine de définition de g. Plus généralement, la composée est définie sur les éléments x du domaine de f dont l'image f(x) appartient au domaine de g. Si toute l'image de f est contenue dans ce domaine, g∘f est définie sur tout le domaine de f.

La fonction écrite à droite agit donc la première. En général, g∘f et f∘g sont différentes, voire l'une des deux peut ne pas être définie. En revanche, lorsque les domaines et codomaines s'enchaînent correctement, la composition est associative : pour une troisième fonction h, (h∘g)∘f = h∘(g∘f). Cette opération structure notamment les endomorphismes et les isomorphismes, et transmet certaines propriétés de régularité sous les hypothèses adaptées.

Prenons deux fonctions définies sur les nombres réels : f associe à x le nombre 2x − 3, et g associe à un nombre y son carré y². Nous calculons g∘f au point x = 4, puis nous comparons avec f∘g au même point.

1. Pour g∘f, appliquons d'abord f : f(4) = 2 × 4 − 3 = 5.

2. Appliquons ensuite g au résultat obtenu : g(5) = 5² = 25. Ainsi, (g∘f)(4) = 25.

3. Inversions maintenant l'ordre : g(4) = 4² = 16, puis f(16) = 2 × 16 − 3 = 29. La chaîne des deux calculs permet de suivre la valeur transmise à chaque étape.

Le contrôle algébrique confirme ces résultats : (g∘f)(x) = (2x − 3)² donne 25 pour x = 4, tandis que (f∘g)(x) = 2x² − 3 donne 29. Les mêmes fonctions et la même entrée produisent donc deux sorties différentes lorsque leur ordre est inversé.

Pour calculer une expression comme g(f(4)), commencez par la parenthèse intérieure. Le résultat de f devient l'entrée de g ; écrire les valeurs intermédiaires évite d'inverser l'ordre.

Pour déterminer une formule de g∘f, remplacez l'argument de g par l'expression entière f(x). Avec f(x) = 2x − 3 et g(y) = y², il faut mettre 2x − 3 au carré, et non seulement x.

Pour étudier une propriété de la composée, contrôlez d'abord les hypothèses sur chaque fonction et sur les valeurs intermédiaires. Une dérivation utilise la règle de la chaîne ; une fonction réciproque demande, elle, que la transformation considérée soit bijective sur les ensembles choisis.

Composition et produit de fonctions. La composée g∘f injecte la sortie de f dans g, tandis que le produit fg multiplie les deux valeurs f(x) et g(x). Pour f(x) = 2x − 3 et g(x) = x² au point 4, la composée vaut 25, mais le produit vaut 5 × 16 = 80.

Ordre inverse et fonction réciproque. Échanger f et g forme f∘g ; cela ne construit pas la réciproque de f. Une réciproque f⁻¹ doit défaire f, de sorte que f⁻¹∘f soit la fonction identité sur le domaine concerné.

Valeur intermédiaire hors domaine. Une formule écrite ne garantit pas que la composée existe partout. Si g est la racine carrée réelle et f(x) = x − 3, alors g(f(x)) n'est définie que lorsque x ≥ 3. Il faut donc déterminer le domaine de la composée, et pas seulement substituer une expression.

Ordre supposé interchangeable. Le symptôme est l'obtention de deux formules différentes après permutation. Dans l'exemple conducteur, 25 et 29 au point 4 prouvent que g∘f ≠ f∘g. Il faut relire de droite à gauche et conserver les valeurs intermédiaires.

Simplification abusive. Une égalité g∘f = g∘h ne permet pas toujours de conclure f = h : cette annulation à gauche exige notamment que g soit injective sur les valeurs atteintes. De même, f∘g = h∘g permet d'annuler g à droite si g est surjective sur le domaine où f et h sont comparées. Sans cette propriété, il faut revenir aux images élément par élément.

bijection. Relier injectivité et surjectivité à l'existence d'une transformation qui défait exactement une fonction.

fonction réciproque. Voir pourquoi les deux compositions avec la réciproque redonnent les fonctions identité sur les ensembles appropriés.

La composition permet aussi de construire des transformations en plusieurs étages. Son associativité autorise à regrouper les étapes sans changer le résultat, mais jamais à permuter leur ordre sans justification.