AnalyseObjet mathématique · Glossaire
convergence d'une suite numérique
Dans un corps K = ℝ ou ℂ, une suite (uₙ) d'éléments de K est dite convergente vers ℓ ∈ K si : ∀ ε ∈ ℝ*₊, ∃ n₀ ∈ ℕ, ∀ n ∈ ℕ, n ≥ n₀ ⇒ |uₙ − ℓ| < ε. Lorsqu'elle existe, la limite ℓ est unique ; on note lim_{n→+∞} uₙ = ℓ. Dans ℂ, la notation |·| désigne le module ; dans ℝ, elle désigne la valeur absolue. Une suite non convergente est dite divergente. La convergence peut être visualisée géométriquement : à partir d'un certain rang n₀, tous les termes de la suite se trouvent dans tout voisinage de ℓ, aussi petit soit-il.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter la convergence comme une entrée durable dans tout voisinage de la limite.
- Lire précisément les quantificateurs ε et n₀.
- Prouver que la suite 1/n converge vers 0.
- Distinguer convergence, bornitude et convergence d’une série.
En clair
Regardons les nombres 1, 1/2, 1/3, 1/4… Ils restent positifs, mais se rapprochent de 0. Quelle que soit la petite marge choisie autour de 0, tous les termes finissent par entrer dans cette marge et n’en ressortent plus.
Cette stabilisation durable caractérise la convergence. Elle ne signifie pas que la suite atteint sa limite, ni que ses termes cessent de changer : elle signifie que l’écart à la limite peut devenir aussi petit qu’on le souhaite.
Définition
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels ou complexes, indexés par un entier naturel n. On dit que la suite de terme général un converge vers le nombre ℓ si l’écart entre un et ℓ devient définitivement inférieur à toute précision positive demandée.
La précision demandée est notée ε. Pour chaque ε strictement positif, il doit exister un rang n0 tel que tout indice n supérieur ou égal à n0 vérifie : . Dans ℝ, les barres désignent la valeur absolue ; dans ℂ, elles désignent le module. Le rang n0 peut dépendre de ε : une précision plus exigeante demande souvent d’aller plus loin dans la suite.
Lorsqu’une telle limite existe, elle est unique et l’on écrit . Une suite qui ne converge vers aucun nombre réel ou complexe est divergente. La définition porte sur tous les termes à partir d’un certain rang, et non sur quelques termes isolés.
De quoi c'est fait
La convergence met en relation cinq éléments. La suite fournit les termes un. Le nombre ℓ est la limite candidate. La précision ε fixe la largeur du voisinage autour de ℓ. Le rang n0 marque le début de la portion contrôlée. Enfin, l’écart |un − ℓ| mesure la distance du terme à la limite.
Le rang n0 dépend de la précision ε, mais il ne doit plus dépendre de n une fois choisi. La portion située après ce rang dépend donc du voisinage demandé, et chacun de ses termes doit y rester. Ces données suffisent à vérifier une preuve de convergence : proposer ℓ, fixer un ε quelconque, déterminer n0, puis contrôler tous les indices suivants. Le tracé ou l’échelle d’un graphique n’appartiennent pas à la définition.
Un exemple, pas à pas
Considérons la suite définie, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, par . Sa limite candidate est 0. Choisissons la précision ε = 0,1.
1. L’écart à la limite vaut .
2. Nous cherchons un rang après lequel cet écart est strictement inférieur à 0,1. L’inégalité équivaut à n > 10.
3. Prenons donc n0 = 11. Pour tout n supérieur ou égal à 11, on a 1/n ≤ 1/11 < 0,1. Tous les termes concernés sont bien dans le voisinage choisi autour de 0.
4. Le même raisonnement fonctionne pour toute précision positive ε : un entier n0 strictement supérieur à 1/ε convient. Cela prouve que la suite converge vers 0, et pas seulement qu’elle paraît s’en approcher.
Le graphique associé matérialise ce contrôle pour ε = 0,1 : à partir du onzième terme, chaque point reste dans la bande centrée sur la limite 0.
En pratique
Pour une suite donnée par une formule explicite, on commence par chercher une limite candidate, puis on transforme l’inégalité |un − ℓ| < ε afin d’obtenir un rang convenable. Ce contrôle formel est préférable à la simple observation de quelques valeurs.
Un calcul numérique aide à conjecturer la limite et à visualiser la vitesse de rapprochement. Il ne remplace pas une preuve, car un nombre fini de termes ne décrit jamais toute la suite.
Pour comparer deux approximations successives d’une même quantité, la convergence indique si l’erreur finit par rester sous une tolérance fixée. Si l’on ne connaît pas la limite exacte, il faut employer un critère adapté plutôt que mesurer un écart à une valeur supposée.
À ne pas confondre
Une suite bornée reste dans un intervalle fixe, mais elle ne se rapproche pas nécessairement d’un seul nombre. La suite qui alterne entre −1 et 1 est bornée et divergente ; une suite convergente, elle, finit par rester arbitrairement près de sa limite.
Suite et série
La convergence d’une suite concerne ses termes un. La convergence d’une série concerne la suite de ses sommes partielles. Par exemple, les termes 1/n tendent vers 0, mais cela ne suffit pas à conclure que leur somme infinie converge.
Limites et pièges
Atteindre la limite n’est pas requis. Pour un = 1/n, aucun terme ne vaut 0, alors que la limite est 0. Il faut contrôler l’écart, non chercher une égalité à un rang fini.
Quelques termes éloignés ne changent rien. Modifier un nombre fini de termes conserve la convergence et la même limite, puisque la définition ne porte que sur les indices assez grands.
Une apparente stabilisation ne prouve rien. Un tableau ou un graphique ne montre qu’un nombre fini de valeurs. Il faut établir qu’après un rang n0, tous les termes satisfont l’inégalité demandée.
« Tendre vers +∞ » n’est pas converger dans ℝ ou ℂ. La définition exige une limite finie appartenant au corps considéré. Une suite sans telle limite, qu’elle oscille ou croisse sans borne, est divergente.
Pour aller plus loin
La suite géométrique fournit une famille classique où la raison détermine les comportements possibles et permet d’exercer le calcul d’une limite.
La suite de Cauchy permet d’étudier la convergence en comparant les termes entre eux, sans connaître d’abord la limite.
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