suite stationnaire

Imaginez une suite qui commence par 2, 5, 8, puis affiche 11 à chaque rang suivant. Les premiers termes changent, mais, dès que 11 apparaît, plus rien ne bouge.

Cette immobilité définit une suite stationnaire. Le début peut être irrégulier et aussi long que l'on veut ; seul compte le fait qu'à partir d'un certain rang, une même valeur se répète pour toujours.

Une suite numérique est stationnaire lorsqu'elle devient constante après un nombre fini de termes. On note u la suite et u_n son terme de rang n. Il doit exister un entier naturel n₀ tel que chaque terme dont le rang n est supérieur ou égal à n₀ soit égal au terme u_n₀.

Les termes placés avant n₀ sont libres : ils peuvent être distincts ou déjà égaux entre eux. La valeur commune u_n₀ est la valeur de stabilisation. Le rang n₀ n'est pas nécessairement unique, car tout rang ultérieur convient aussi. Une suite constante dès son premier terme est donc un cas particulier de suite stationnaire. Enfin, toute suite stationnaire converge vers sa valeur de stabilisation : après n₀, l'écart à cette valeur est exactement nul.

Cinq éléments décrivent la structure. Les rangs sont les entiers naturels qui ordonnent les termes. Les termes u_n sont les valeurs associées à ces rangs. Le début variable regroupe les termes situés avant la stabilisation. Le rang de stabilisation n₀ marque un seuil à partir duquel aucune valeur ne change. La valeur de stabilisation est la valeur commune à tous les termes placés après ce seuil, seuil compris.

Le premier rang de stabilisation est l'endroit où commence la queue constante, tandis que la limite de la suite est la valeur commune de cette queue. Ces données suffisent à séparer la partie initiale, qui peut varier, de la partie constante, qui caractérise la stationnarité. Une représentation graphique facilite ce repérage, mais sa couleur ou son échelle ne fait pas partie de la définition.

Considérons une suite u indexée par les entiers naturels. Données :
u₀ = 2 ;
u₁ = 5 ;
u₂ = 8 ;
pour chaque rang n supérieur ou égal à 3, u_n = 11.

1. Examiner les rangs 0, 1 et 2 : leurs valeurs 2, 5 et 8 changent encore. Aucun de ces rangs ne peut être le premier rang de stabilisation.

2. Tester le rang 3 : u₃ vaut 11 et la donnée générale impose aussi u₄ = 11, u₅ = 11, puis 11 à tout rang ultérieur.

3. Conclure que la suite est stationnaire. Son premier rang de stabilisation est 3, sa valeur de stabilisation est 11 et sa limite est 11.

Le contrôle est refaisable : choisir n'importe quel entier n ≥ 3 donne u_n = 11 = u₃. Le graphique des termes montre les trois valeurs initiales, puis l'alignement horizontal qui commence au rang 3.

Pour reconnaître une suite stationnaire donnée par morceaux, on repère le seuil annoncé, puis on vérifie que la règle fournit exactement la même valeur à tous les rangs suivants. Si les valeurs continuent à changer, même très peu, il faut plutôt étudier la convergence.

Dans une démonstration de convergence, la stationnarité donne une conclusion immédiate : dès le rang de stabilisation, l'écart entre le terme et la valeur finale est nul. Cette voie ne convient pas si l'écart tend seulement vers zéro sans jamais devenir nul.

Face à une liste finie de termes égaux, le bon geste consiste à revenir à la règle de la suite. Une répétition observée suggère un plateau, mais seule une propriété valable pour tous les rangs ultérieurs établit qu'il durera toujours.

Suite constante. Une suite constante garde la même valeur à tous ses rangs, tandis qu'une suite stationnaire peut changer au début. La suite 2, 5, 8, 11, 11, 11, … est stationnaire mais n'est pas constante.

Suite convergente. Une suite convergente peut se rapprocher indéfiniment de sa limite sans jamais l'atteindre ni se répéter. Ainsi, la suite 1, ½, ⅓, ¼, … converge vers 0, mais aucun de ses termes n'est nul. Une suite stationnaire, elle, devient exactement égale à sa limite à partir d'un certain rang. Toute suite stationnaire converge, mais la convergence seule ne garantit donc pas la stationnarité.

Un plateau fini ne suffit pas. Voir 11 aux rangs 3, 4 et 5 ne prouve rien sur le rang 6. Il faut disposer d'une règle ou d'un argument qui impose 11 pour chaque rang n ≥ 3.

Le rang annoncé n'est pas forcément le premier. Dans l'exemple, 3 convient, mais 4, 5 et tout rang ultérieur conviennent aussi. Si l'on demande le premier rang de stabilisation, il faut vérifier que le terme précédent ne porte pas déjà la valeur finale ; ici u₂ = 8, et non 11.

Se rapprocher n'est pas se stabiliser. Une différence non nulle, aussi petite soit-elle, interdit encore la stationnarité. Le test exige une égalité exacte avec une même valeur à tous les rangs après le seuil, et non une simple approximation.

La convergence d'une suite numérique replace la stationnarité dans un cadre plus large : elle étudie aussi les suites qui s'approchent d'une limite sans devenir constantes.