moyenne arithmétique

Cinq trajets ont duré 18, 21, 23, 24 et 34 minutes. Ensemble, ils représentent 120 minutes. Si cette durée totale était partagée également entre les cinq trajets, chacun durerait 24 minutes.

Cette valeur de partage est la moyenne arithmétique. Elle ne décrit pas forcément un trajet réellement observé : elle donne un point d'équilibre qui conserve le total et résume la position de la série.

La moyenne arithmétique est un indicateur de position défini pour une liste non vide de nombres réels. Le nombre entier positif n désigne le nombre de valeurs ; les nombres x₁, x₂, …, x_n désignent ces valeurs ; le nombre m désigne leur moyenne. La définition complète s'écrit :

On additionne donc toutes les valeurs, puis on divise cette somme par leur nombre. Le résultat est exprimé dans la même unité que les données. Dans le langage courant, le mot « moyenne » employé sans autre précision désigne généralement cette moyenne arithmétique.

La moyenne harmonique h, la moyenne géométrique g et la moyenne quadratique q répondent à d'autres règles de calcul. Pour des valeurs strictement positives, elles satisfont $h\le g\le m\le qh\backslash le\; g\backslash le\; m\backslash le\; q$. Cette condition de positivité est essentielle pour comparer simultanément ces quatre moyennes réelles dans leur définition usuelle.

Une personne relève cinq durées de trajet, dans les mêmes conditions de mesure : 18, 21, 23, 24 et 34 minutes. Les données sont ces cinq durées et leur nombre n = 5.

1. Additionnons les durées : 18 + 21 + 23 + 24 + 34 = 120 minutes.

2. Divisons la somme par le nombre de trajets : $m=\frac{120}{5}=24m=\backslash frac\{120\}\{5\}=24$. La moyenne arithmétique est donc de 24 minutes.

3. Contrôlons le point d'équilibre en soustrayant 24 à chaque durée : −6, −3, −1, 0 et +10 minutes. La figure rend visible la compensation exacte entre les écarts négatifs et positifs.

4. La somme des écarts vaut −6 − 3 − 1 + 0 + 10 = 0. Ce contrôle confirme le résultat : répartir les 120 minutes en cinq parts égales redonne bien 24 minutes par trajet.

Pour résumer des mesures comparables qui jouent toutes le même rôle, additionnez-les puis divisez par leur nombre. Les cinq durées de trajet donnent ainsi 24 minutes.

Pour vérifier un résultat, soustrayez la moyenne à chaque valeur. Si le calcul est exact, les écarts positifs compensent exactement les écarts négatifs ; dans l'exemple, leur somme est nulle.

Avant de réunir plusieurs données, vérifiez qu'elles expriment la même grandeur dans une unité commune. Sinon, il faut d'abord les convertir ; une somme de minutes et d'heures non converties ne produit pas une moyenne interprétable.

Lorsque le problème porte sur des produits, des inverses ou des carrés plutôt que sur un partage additif, la moyenne géométrique, harmonique ou quadratique peut être l'alternative adaptée. Le type de relation entre les données tranche le choix.

Moyenne arithmétique et moyenne géométrique. La première divise une somme par le nombre de valeurs ; la seconde prend une racine du produit de valeurs positives. Pour 4 et 16, elles valent respectivement 10 et 8 : le calcul demandé permet de les distinguer.

Moyenne arithmétique et moyenne harmonique. La moyenne harmonique s'obtient à partir des inverses de valeurs strictement positives. Pour 2 et 6, la moyenne arithmétique vaut 4, tandis que la moyenne harmonique vaut 3.

Moyenne arithmétique et moyenne quadratique. La moyenne quadratique prend la racine carrée de la moyenne des carrés. Pour 3 et 4, la moyenne arithmétique vaut 3,5, tandis que la moyenne quadratique vaut $\sqrt{\mathrm{12,5}}\approx \mathrm{3,54}\backslash sqrt\{12\{,\}5\}\backslash approx3\{,\}54$.

Liste vide. Avec zéro valeur, la formule demanderait une division par zéro. La moyenne arithmétique n'est donc pas définie pour une liste vide ; il faut signaler l'absence de données au lieu d'afficher 0.

Valeur très éloignée. Une seule valeur peut déplacer fortement la moyenne. Pour 18, 21, 23 et 24 minutes, elle vaut 21,5 minutes ; l'ajout du trajet de 34 minutes la porte à 24 minutes. Il faut alors conserver la série ou compléter le résumé plutôt que faire passer la moyenne pour une durée typique certaine.

Unités mélangées. Une valeur donnée en heures ne s'additionne pas directement à des valeurs données en minutes. Le symptôme est un total qui dépend de l'unité choisie ; convertissez toutes les mesures dans la même unité avant le calcul.

Inégalité des quatre moyennes. La relation $h\le g\le m\le qh\backslash le\; g\backslash le\; m\backslash le\; q$ s'emploie, dans le cadre réel usuel, pour des valeurs strictement positives. Si les données comprennent zéro ou un nombre négatif, ne l'appliquez pas mécaniquement ; examinez séparément l'existence de chaque moyenne.

moyenne géométrique — Étudier la moyenne fondée sur un produit et sa place sous la moyenne arithmétique pour des valeurs positives.

moyenne harmonique — Examiner le calcul par les inverses et la première borne de l'inégalité des moyennes.

moyenne quadratique — Relier la moyenne des carrés à la borne supérieure des quatre moyennes classiques.